הצעה לפתרון מלא — חשמל 845381

הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל

בגרות · קיץ תשפ"ו 2026 · שאלון 845381 · שאלות 1–10

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

💡

על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, קיץ תשפ"ו 2026. השאלון כולל עשר שאלות: שאלות 1–4 במעגלי זרם ישר, שאלות 5–8 בזרם חילופין, ושאלות 9–10 באלגברה בוליאנית ומערכות ספרתיות.

שאלה 1 — מעגל זרם ישר: לולאה אחת, שני מקורות

נתונים: R₁ = 2 Ω · R₂ = 4 Ω · R₃ = 6 Ω · R₄ = 8 Ω · E₁ = 24V · E₂ = 16V

⚠️

קריאת הקוטביות: על-פי הסימון באיור שני המקורות פועלים זה כנגד זה — המקור E₁ (החזק יותר) מסיע את הזרם בלולאה, והמקור E₂ מתנגד לו.

סעיף א — הזרם I

כל ארבעת הנגדים מחוברים בטור בלולאה אחת, ולכן ההתנגדות השקולה היא סכומם:

R_T = R₁ + R₂ + R₃ + R₄ = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Ω

לפי חוק המתחים של קירכהוף, הזרם נקבע מהפרש המקורות חלקי ההתנגדות הכוללת:

I = E₁ - E₂R_T = 24 - 1620 = 820

I = 0.4 A

סעיף ב — ההספק על R₃

P(R₃) = I² · R₃ = 0.4² × 6 = 0.16 × 6

P(R₃) = 0.96 W

סעיף ג — המתח בין A ל-B

נחשב את הפרש הפוטנציאלים מ-B ל-A דרך המסלול העליון, הכולל את המקור E₁ ואת הנגדים R₁ ו-R₂:

U_AB = E₁ - I · (R₁ + R₂) = 24 - 0.4 × (2 + 4) = 24 - 2.4

נוודא את התוצאה דרך המסלול התחתון, הכולל את R₃, R₄ ואת המקור E₂:

U_AB = E₂ + I · (R₃ + R₄) = 16 + 0.4 × 14 = 21.6 V ✓

U_AB = 21.6 V

שאלה 2 — מעגל זרם ישר עם התנגדות מוליכים

נתונים: R₁ = 3 Ω · R₂ = 2 Ω · E = 12V · מוליכי נחושת: אורך 60m · חתך 1.5 mm² · ρ = 0.0175

💡

מבנה המעגל: באיור א' שני הנגדים R₁ ו-R₂ מחוברים במקביל ישירות אל המקור. באיור ב' נוספת התנגדות מוליכי הנחושת בטור עם הענף של R₂.

סעיף א — הזרמים I₁, I₂, I (איור א')

בחיבור מקבילי המתח על כל נגד שווה למתח המקור:

I₁ = ER₁ = 123 = 4 A

I₂ = ER₂ = 122 = 6 A

I = I₁ + I₂ = 4 + 6 = 10 A

I₁ = 4 A ; I₂ = 6 A ; I = 10 A

סעיף ב — ההספק על R₂

P(R₂) = I₂² · R₂ = 6² × 2 = 72 W

P(R₂) = 72 W

סעיף ג — הזרם I₂ (איור ב', עם מוליכי נחושת)

נחשב תחילה את התנגדות שני מוליכי הנחושת שאורכם הכולל 60 מטר:

R(מוליך) = ρ · LA = 0.0175 × 601.5 = 0.7 Ω

התנגדות זו נמצאת בטור עם R₂, בעוד המתח על הענף עדיין 12V:

I₂ = ER(מוליך) + R₂ = 120.7 + 2 = 122.7

R(מוליך) = 0.7 Ω ; I₂ ≈ 4.44 A

שאלה 3 — מעגל זרם ישר עם מפסק S

נתונים: E = 18V · R₁ = 18 Ω · R₂ = 15 Ω · R₃ = 40 Ω · R₄ = 20 Ω · R₅ = 60 Ω

💡

מבנה המעגל: צומת 1 מצוי אחרי R₁; צומת 2 הוא הצומת התחתון-אמצעי; צומת 3 הוא הצומת התחתון-ימני. המפסק S מחבר את צומת 3 לפס התחתון.

סעיף א — ההתנגדות השקולה (S פתוח)

כשהמפסק פתוח, צומת 3 הוא קצה מת — הענף R₃ ו-R₄ בטור (60Ω) מקביל ל-R₂:

R₂ ∥ (R₃ + R₄) = 15 ∥ 60 = 15 × 6075 = 12 Ω

R_eq = R₁ + [R₂ ∥ (R₃ + R₄)] + R₅ = 18 + 12 + 60

R_eq = 90 Ω

סעיף ב — המתח על R₅ (S פתוח)

כל הזרם הכללי עובר דרך R₅:

I = ER_eq = 1890 = 0.2 A

V(R₅) = I · R₅ = 0.2 × 60

V(R₅) = 12 V

סעיף ג — הזרם דרך R₄ (S פתוח)

המתח על המקביליים (בין צומת 1 לצומת 2):

V = I · 12 = 0.2 × 12 = 2.4 V

I(R₄) = VR₃ + R₄ = 2.460

I(R₄) = 0.04 A

סעיף ד — ההתנגדות השקולה (S סגור)

כשהמפסק סגור, צומת 3 מתחבר לפס התחתון. כתוצאה מכך R₄ מקביל ל-R₅, ומכפלה זו בטור עם R₂ מקבילה ל-R₃, והכול בטור עם R₁:

R₄ ∥ R₅ = 20 ∥ 60 = 15 Ω

(R₂ + 15) ∥ R₃ = 30 ∥ 40 = 30 × 4070 ≈ 17.14 Ω

R(שקול) = R₁ + 17.14 = 18 + 17.14

R(שקול) ≈ 35.14 Ω

שאלה 4 — מעגל זרם ישר: שני מקורות, רשת דו-צמתית

נתונים: E₁ = 52V · E₂ = 75V · R₁ = 10 Ω · R₂ = 20 Ω · R₃ = 60 Ω · R₄ = 20 Ω

שלושת הענפים מחוברים בין צומת A (עליון) לצומת B (תחתון). נבחר את הפוטנציאל בצומת B שווה לאפס ונפתור בשיטת מתח הצומת. ענף ימין כולל את R₂ ו-R₄ בטור (40Ω) עם המקור E₂.

סעיף א — הזרמים I₁, I₂

נכתוב את חוק הזרמים של קירכהוף בצומת A:

52 - V_A10 + 75 - V_A40 = V_A60

12(52 - V_A) + 3(75 - V_A) = 2 V_A

849 = 17 V_A → V_A = 49.94 V

I₁ = 52 - 49.9410 ≈ 0.206 A

I₂ = 75 - 49.9440 ≈ 0.627 A

I₃ = V_A60 ≈ 0.832 A

I₁ ≈ 0.206 A ; I₂ ≈ 0.627 A

סעיף ב — ההספק על R₃

P(R₃) = I₃² · R₃ = 0.832² × 60

P(R₃) ≈ 41.6 W

סעיף ג — המתח על R₄

הנגד R₄ נמצא בענף הימני ולכן נושא את הזרם I₂:

V(R₄) = I₂ · R₄ = 0.627 × 20

V(R₄) ≈ 12.5 V

🔌 פרק שני — זרם חילופין

שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

נתונים: I = 3A · V_R = 30V · V_L = 60V · V_C = 20V · חיבור טורי

סעיף א — מתח המקור U

מפלי המתח על המשרן ועל הקבל מנוגדים בפאזה, ולכן המתח הכולל הוא הסכום הפאזורי של מפל הנגד ושל הפרש מפלי המשרן והקבל:

U = √V_R² + (V_L - V_C)² = √30² + 40² = √2500

U = 50 V

סעיף ב — R, X_L, X_C

במעגל טורי הזרם משותף לכל הרכיבים, ולכן נחלק כל מפל מתח בזרם:

R = V_RI = 303 = 10 Ω

X_L = V_LI = 603 = 20 Ω

X_C = V_CI = 203 ≈ 6.67 Ω

R = 10 Ω ; X_L = 20 Ω ; X_C ≈ 6.67 Ω

סעיף ג — דיאגרמת הפאזורים

נבחר את הזרם I כפאזור הייחוס. מפל הנגד V_R בכיוונו, מפל המשרן V_L מקדים ב-90°, ומפל הקבל V_C מפגר ב-90°. זווית המופע נקבעת מיחס ההיגב לנגד:

tan φ = V_L - V_CV_R = 4030 → φ ≈ 53°

φ ≈ 53° (הזרם מפגר אחרי המתח — המעגל השראותי)

סעיף ד — מקצרים את הקבל C

כאשר מקצרים את הקבל מתקיים V_C = 0, והמעגל הופך למעגל R-L טורי. המתח נשמר U = 50V:

Z = √R² + X_L² = √10² + 20² = √500 ≈ 22.36 Ω

I' = UZ = 5022.36 ≈ 2.24 A

I' ≈ 2.24 A ; V_R ≈ 22.4 V ; V_L ≈ 44.7 V ; V_C = 0 V

שאלה 6 — מעגל RL מקבילי בזרם חילופין

נתונים: I = 5A · R = 20 Ω · f = 100Hz · I_R = 1.4A · חיבור מקבילי

💡

מבנה המעגל: הנגד והמשרן מחוברים במקביל אל המקור. הזרם הכללי I הוא הסכום הפאזורי של זרם הנגד I_R (בפאזה עם המתח) וזרם המשרן I_L (מפגר ב-90°).

סעיף א — מתח המקור U

בחיבור מקבילי המתח משותף, ונחשב אותו מהענף הנגדי:

U = I_R · R = 1.4 × 20

U = 28 V

סעיף ב — הזרם I_L וזווית I

זרם המשרן מנוגד בפאזה לחלק המדומה של הזרם הכללי, ומתקבל מהפרש הפיתגורי:

I_L = √I² - I_R² = √5² - 1.4² = √23.04 = 4.8 A

tan φ = I_LI_R = 4.81.4 → φ ≈ -73.7°

I_L = 4.8 A ; φ ≈ -73.7° (הזרם מפגר אחרי המתח)

סעיף ג — היגב המשרן והשראות המשרן

X_L = UI_L = 284.8 ≈ 5.83 Ω

L = X_L2π f = 5.832π × 100 ≈ 9.28 mH

X_L ≈ 5.83 Ω ; L ≈ 9.28 mH

סעיף ד — ההספקים P, Q, S

S = U · I = 28 × 5 = 140 VA

P = U · I_R = 28 × 1.4 = 39.2 W

Q = U · I_L = 28 × 4.8 = 134.4 var

P = 39.2 W ; Q = 134.4 var ; S = 140 VA

שאלה 7 — מעגל RLC טורי במצב תהודה

נתונים: R = 60 Ω · L = 60mH · U = 12V · V_C = 40V · מצב תהודה

💡

מצב תהודה: מד-המתח על הקבל מראה V_C = 40V. במצב תהודה מתקיים X_L = X_C, מפלי המשרן והקבל מבטלים זה את זה, והעכבה שווה ל-R בלבד.

סעיף א — הזרם I

במצב תהודה העכבה מינימלית ושווה להתנגדות בלבד:

Z = R = 60 Ω → I = UR = 1260

I = 0.2 A

סעיף ב — X_L ו-X_C

X_C = V_CI = 400.2 = 200 Ω ; X_L = X_C = 200 Ω

X_L = X_C = 200 Ω

סעיף ג — תדירות התהודה f₀

f₀ = X_L2π L = 2002π × 0.06 = 2000.377

f₀ ≈ 530.5 Hz

סעיף ד — קיבול הקבל C

C = 12π f₀ · X_C = 12π × 530.5 × 200 ≈ 1.5 × 10^-6 F

C = 1.5 µF

שאלה 8 — רשת תלת-מופעית, חיבור משולש (Δ)

נתונים: Z = 10 + j5 Ω לכל מופע · U(קווי) = 400V · f = 50Hz · עומס מאוזן בחיבור משולש

בחיבור משולש המתח המופעי שווה למתח הקווי, כלומר 400V. גודל העכבה וזווית המופע:

|Z| = √10² + 5² = √125 ≈ 11.18 Ω ; φ = arctan(510) = 26.57°

סעיף א — הזרם המופעי והזרם הקווי

בחיבור משולש הזרם הקווי גדול פי שורש שלוש מהזרם המופעי:

I(מופעי) = U|Z| = 40011.18 ≈ 35.78 A

I(קווי) = √3 · I(מופעי) = 1.732 × 35.78 ≈ 61.96 A

I(מופעי) ≈ 35.78 A ; I(קווי) ≈ 61.96 A

סעיף ב — ההספקים P, Q, S

P = 3 · I(מופעי)² · R = 3 × 35.78² × 10 ≈ 38400 W

Q = 3 · I(מופעי)² · X = 3 × 35.78² × 5 ≈ 19200 var

S = √P² + Q² ≈ 42930 VA

P = 38.4 kW ; Q = 19.2 kvar ; S ≈ 42.93 kVA

סעיף ג — משולש ההספקים

משולש ההספקים הוא משולש ישר-זווית: הצלע האופקית היא ההספק הממשי P, הצלע האנכית היא ההספק המדומה Q (חיובי, כלפי מעלה — עומס השראותי), והיתר הוא ההספק המדומה S. הזווית בין P ל-S שווה ל-φ ≈ 26.6°.

סעיף ד — אופי הרשת

החלק המדומה של העכבה חיובי (‎+j5‎), ולכן ההיגב השראותי. הזרם מפגר אחרי המתח וההספק המדומה Q חיובי, ומכאן שהרשת השראותית:

X = +j5 Ω

X = +j5 Ω (הרשת השראותית)

📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות

שאלה 9 — פונקציה בוליאנית מטבלת אמת

נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים A, B, C נתונה בטבלת אמת

סעיף א — ביטוי הפונקציה (סכום מכפלות)

הפונקציה שווה ל-1 בארבע השורות שבהן לפחות שניים מהמשתנים שווים ל-1. טבלת האמת:

A	B	C	F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

ביטוי סכום המכפלות המתקבל ישירות מהשורות שבהן F=1:

F = A · B · C + A · B · C + A · B · C + A · B · C

סעיף ב — מפת קרנו ופישוט

נעביר את הערכים למפת קרנו — שורות לפי A, עמודות לפי BC בסדר קוד גרֵיי:

A \ BC	00	01	11	10
0	0	0	1	0
1	0	1	1	1

מקבצים שלושה זוגות של תאים סמוכים: הזוג BC (עמודה 11 בשתי השורות), הזוג AC (שורה A=1, עמודות 01 ו-11), והזוג AB (שורה A=1, עמודות 11 ו-10). זוהי פונקציית הרוב:

F = A · B + A · C + B · C

סעיף ג — מימוש במערכת מתגים

סכום לוגי מתממש בענפים מקביליים, ומכפלה לוגית מתממשת במגעים בטור. לכן המערכת בנויה משלושה ענפים מקביליים, ובכל ענף שני מגעים בטור: ענף (A·B) במקביל לענף (A·C) במקביל לענף (B·C). המעגל מוליך כאשר F=1.

שאלה 10 — מערכת שערים לוגיים

נתונים: מערכת המשלבת שער NOR על (A,B), שער NAND על (B,C), ושער NOR סופי המאחד ביניהם

💡

מבנה המערכת: שער NOR פועל על הכניסות A ו-B, שער NAND פועל על הכניסות B ו-C, ושני מוצאיהם נכנסים לשער NOR סופי שמוצאו F.

סעיף א — ביטוי הפונקציה

נעקוב אחרי המערכת שער אחרי שער. שער ה-NOR הראשון נותן את המשלים של הסכום A+B, שער ה-NAND נותן את המשלים של המכפלה B·C, ושער ה-NOR הסופי מאחד את שני המוצאים:

F(A,B,C) = (A + B) + (B · C)

סעיף ב — פישוט

לפי חוק דה-מורגן, שלילת הסכום של שני איברים שווה למכפלת המשלימים שלהם:

F = (A + B) · (B · C) = (A + B) · (B · C)

נפתח את המכפלה ונשתמש בכך ש-A·B·C בלוע באיבר B·C:

F = A · B · C + B · C = B · C · (A + 1) = B · C

F = B · C (2 ליטרלים)

💡

המסקנה: המשתנה A נעלם לחלוטין מהפונקציה. כל המערכת המורכבת שקולה לשער AND יחיד עם הכניסות B ו-C בלבד — דוגמה מצוינת לחשיבות הפישוט לפני המימוש.

סעיף ג — מימוש בשער יחיד

הפונקציה המפושטת ממומשת בשער AND יחיד עם שתי הכניסות B ו-C, שמוצאו F = B·C.