הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל
בגרות · מועד 2022 · שאלון 845381 · שאלות 1–10
✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦
💡
על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, מועד 2022. השאלון בנוי משלושה פרקים ובהם עשר שאלות. במסמך זה מובא פתרון מלא לכל עשר השאלות: לכל סעיף מוצגים הנתונים, הנוסחה, ההצבה, התוצאה הסופית עם יחידות המידה והסבר מילולי קצר.
שאלה 1 — מעגל זרם ישר עם נגדים בטור ובמקביל
נתונים: E · R₁ = 5 Ω · R₅ = 6 Ω · R₂ = 2 Ω · R₃ = 5 Ω · R₄ = 7 Ω · I₁ = 3A
💡
מבנה המעגל: R₁ מחובר בטור בכניסה ו-R₅ בטור בחזרה. בין הנקודות A ו-B מחוברים שני ענפים במקביל — ענף אחד ובו R₂ בטור עם R₃, וענף שני ובו R₄. הזרם דרך R₂ הוא I₁.
סעיף א — המתח בין הנקודות A ו-B

הנגדים R₂ ו-R₃ מחוברים בטור, ולכן הזרם I₁ עובר דרך שניהם. המתח בין A ל-B הוא סכום מפלי המתח על שניהם:

UAB = I₁ · (R₂ + R₃) = 3 × (2 + 5) = 3 × 7
UAB = 21 V
סעיף ב — הזרם I₂

הנגד R₄ מחובר ישירות בין A ל-B, ולכן המתח עליו הוא בדיוק U_AB. לפי חוק אוהם:

I₂ = UABR₄ = 217
I₂ = 3 A
סעיף ג — הזרם הכללי I_T

לפי חוק הזרמים של קירכהוף, הזרם הכללי הנכנס לנקודה A מתפצל לשני הענפים:

IT = I₁ + I₂ = 3 + 3
IT = 6 A
סעיף ד — מתח המקור E

לפי חוק המתחים של קירכהוף, מתח המקור שווה לסכום מפלי המתח על R₁, על הקטע A-B ועל R₅. דרך R₁ ו-R₅ זורם הזרם הכללי I_T:

E = IT · R₁ + UAB + IT · R₅ = 6 × 5 + 21 + 6 × 6 = 30 + 21 + 36
E = 87 V
שאלה 2 — מעגל עם שני מקורות מתח (חוקי קירכהוף)
נתונים: E₁ = 30V · R₁ = 48 Ω · E₂ = 33V · R₂ = 100 Ω · R₃ = 60 Ω · R₄ = 180 Ω
💡
מבנה המעגל: בענף השמאלי E₁ בטור עם R₁, ובענף הימני E₂ בטור עם R₂. בענף האמצעי מחוברים במקביל R₃ ו-R₄. שני הזרמים I₁ ו-I₂ זורמים לכיוון הצומת העליון לפי החיצים באיור.
סעיף א — חישוב הזרמים I₁ ו-I₂

תחילה נחשב את ההתנגדות השקולה של הענף האמצעי בחיבור מקבילי:

R₃₄ = R₃ · R₄R₃ + R₄ = 60 × 18060 + 180 = 10800240 = 45  Ω

לפי חוק הזרמים, הזרם בענף האמצעי הוא I₃ = I₁ + I₂. נכתוב שתי משוואות חוג לפי חוק המתחים של קירכהוף:

30 = 48 I₁ + 45(I₁ + I₂)
33 = 100 I₂ + 45(I₁ + I₂)

לאחר כינוס איברים מתקבלת מערכת המשוואות:

93 I₁ + 45 I₂ = 30
45 I₁ + 145 I₂ = 33

נפתור בשיטת הדטרמיננטות:

D = 93 × 145 - 45 × 45 = 13485 - 2025 = 11460
I₁ = 30 × 145 - 45 × 3311460 = 286511460 = 0.25 A
I₂ = 93 × 33 - 45 × 3011460 = 171911460 = 0.15 A

שני הזרמים חיוביים, ולכן כיווני הזרמים שהונחו באיור נכונים.

I₁ = 0.25 A ; I₂ = 0.15 A
סעיף ב — המתח על הנגד R₃

הזרם בענף האמצעי הוא סכום שני הזרמים, והמתח על הצירוף המקבילי הוא גם המתח על R₃:

I₃ = I₁ + I₂ = 0.25 + 0.15 = 0.4 A
UR3 = R₃₄ · I₃ = 45 × 0.4
UR3 = 18 V
סעיף ג — ההספק המתפתח בנגד R₄

הנגד R₄ מחובר במקביל ל-R₃, ולכן המתח עליו גם הוא 18 וולט:

PR4 = U2R₄ = 182180 = 324180
PR4 = 1.8 W
שאלה 3 — מעגל קבלים
נתונים: E = 160V · C₁ = 60µF · C₂ = 30µF · C₃ = 120µF · C₄ = 100µF · C₅ = 40µF
💡
מבנה המעגל: C₁ מחובר בטור בין המקור לנקודה A. בין A ל-B מחוברים שני ענפים במקביל — ענף אחד ובו הצירוף המקבילי של C₂ ו-C₃ בטור עם C₄, וענף שני ובו C₅.
סעיף א — הקיבול השקול של המעגל

בחיבור מקבילי הקיבולים מתחברים, ובחיבור טורי מחשבים לפי מכפלה חלקי סכום. נצעד שלב אחר שלב:

C₂₃ = C₂ + C₃ = 30 + 120 = 150 µF
C₂₃₄ = C₂₃ · C₄C₂₃ + C₄ = 150 × 100250 = 60 µF
CAB = C₂₃₄ + C₅ = 60 + 40 = 100 µF
CT = C₁ · CABC₁ + CAB = 60 × 100160
CT = 37.5 µF
סעיף ב — המטען בקבל C₁

הקבל C₁ מחובר בטור לכל שאר המעגל, ולכן המטען עליו שווה למטען הכללי שמספק המקור:

Q₁ = QT = CT · E = 37.5 × 10-6 × 160
Q₁ = 6 × 10-3 C = 6 mC
סעיף ג — המתח בין הנקודות A ו-B

המטען הכללי עובר דרך הקיבול השקול שבין A ל-B:

UAB = QTCAB = 6 × 10-3100 × 10-6

המתח על C₁ הוא 100 וולט, וסכום המתחים 100 + 60 = 160 וולט שווה למתח המקור — הפתרון עקבי.

UAB = 60 V
סעיף ד — האנרגייה האצורה במעגל
W = 12 · CT · E2 = 0.5 × 37.5 × 10-6 × 1602 = 0.5 × 37.5 × 10-6 × 25600
W = 0.48 J
שאלה 4 — מעגל עם מפסק
נתונים: E = 30V · R₁ = 20 Ω · R₅ = 30 Ω · R₂ = 15 Ω · R₃ = 18 Ω · R₄ = 12 Ω
💡
מבנה המעגל: R₁ בטור בכניסה ו-R₅ בטור בחזרה. בקטע האמצעי מחוברים במקביל הנגד R₂, המפסק S, והענף הטורי R₃ עם R₄.
סעיף א — הזרם הכללי I_T (המפסק פתוח)

כאשר S פתוח, בקטע האמצעי פועלים במקביל R₂ והענף R₃+R₄:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 18 + 12 = 30  Ω
Rmid = R₂ · R₃₄R₂ + R₃₄ = 15 × 3045 = 10  Ω
RT = R₁ + Rmid + R₅ = 20 + 10 + 30 = 60  Ω
IT = ERT = 3060
IT = 0.5 A
סעיף ב1 — חיבור מד-זרם ומד-מתח

כדי למדוד את הזרם דרך R₂ מחברים מד-זרם בטור עם הנגד R₂, בתוך הענף של R₂ עצמו. כדי למדוד את המתח על R₄ מחברים מד-מתח במקביל לנגד R₄, בין שני הדקיו.

סעיף ב2 — קריאות המכשירים

המתח על הקטע המקבילי הוא מכפלת הזרם הכללי בהתנגדות השקולה שלו, וממנו נגזרות קריאות שני המכשירים:

Umid = IT · Rmid = 0.5 × 10 = 5 V
IR2 = UmidR₂ = 515 = 0.333 A
IR34 = UmidR₃ + R₄ = 530 = 0.1667 A
UR4 = IR34 · R₄ = 0.1667 × 12
IR2 ≈ 0.33 A ; UR4 = 2 V
סעיף ג — ההספק המתפתח בנגד R₁ (המפסק סגור)

סגירת המפסק S מקצרת את הקטע האמצעי, שהתנגדותו נעשית אפס, ולכן במעגל נותרים למעשה רק R₁ ו-R₅ בטור:

RT = R₁ + R₅ = 20 + 30 = 50  Ω
IT = ERT = 3050 = 0.6 A
PR1 = IT2 · R₁ = 0.62 × 20 = 0.36 × 20
PR1 = 7.2 W
🔌 פרק שני — זרם חילופין
שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין
נתונים: R = 30 Ω · L = 0.4H · C = 47µF · U = 230V · f = 50Hz
סעיף א — היגב הסליל והיגב הקבל
XL = 2π f L = 2π × 50 × 0.4 ≈ 125.66  Ω
XC = 12π f C = 12π × 50 × 47 × 10-6 ≈ 67.73  Ω
XL ≈ 125.66  Ω ; XC ≈ 67.73  Ω
סעיף ב — עכבת המעגל ואופיו
X = XL - XC = 125.66 - 67.73 = 57.93  Ω
Z = √R2 + X2 = √302 + 57.932 = √900 + 3356

היגב הסליל גדול מהיגב הקבל, ולכן ההיגב הכולל השראותי ואופי המעגל השראותי — הזרם מפגר אחרי המתח.

Z ≈ 65.24  Ω
סעיף ג — המתחים על הנגד, על הסליל ועל הקבל

תחילה נחשב את הזרם במעגל, המשותף לכל הרכיבים בחיבור טורי:

I = UZ = 23065.24 = 3.53 A
UR = I · R = 3.53 × 30 ≈ 105.8 V
UL = I · XL = 3.53 × 125.66 ≈ 443 V
UC = I · XC = 3.53 × 67.73 ≈ 238.8 V

הסכום הפאזורי של המתחים שווה בקירוב למתח המקור 230 וולט, כנדרש.

UR ≈ 105.8 V ; UL ≈ 443 V ; UC ≈ 238.8 V
סעיף ד — ההספק הממשי P

הספק ממשי מתפתח רק בנגד:

P = I2 · R = 3.532 × 30 = 12.43 × 30
P ≈ 373 W
שאלה 6 — מעגל RLC מקבילי בזרם חילופין
נתונים: U = 240V · f = 50Hz · IR = 3A · IL = 7A · IC = 3A · חיבור מקבילי
סעיף א — הזרם I שמספק מקור המתח

בחיבור מקבילי זרם הנגד נמצא במופע עם המתח, זרם הסליל מפגר ב-90° וזרם הקבל מקדים ב-90°. החיבור נעשה באופן פאזורי:

I = √IR2 + (IL - IC)2 = √32 + (7 - 3)2 = √9 + 16 = √25
I = 5 A
סעיף ב — התנגדות הנגד, השראות הסליל וקיבול הקבל

המתח על כל ענף שווה למתח המקור, ומכאן נגזרים ערכי הרכיבים:

R = UIR = 2403 = 80  Ω
XL = UIL = 2407 = 34.29  Ω
L = XL2π f = 34.292π × 50 ≈ 0.109 H
XC = UIC = 2403 = 80  Ω
C = 12π f XC = 12π × 50 × 80 ≈ 39.8 µF
R = 80  Ω ; L ≈ 0.109 H = 109 mH ; C ≈ 39.8 µF
סעיף ג — דיאגרמה פאזורית

מתח המקור בגודל 240 וולט משורטט על הציר האופקי החיובי בזווית 0° והוא פאזור הייחוס. זרם הנגד בגודל 3 אמפר משורטט על אותו ציר במופע עם המתח. זרם הסליל בגודל 7 אמפר משורטט כלפי מטה בזווית 90°- ומפגר אחרי המתח ברבע מחזור. זרם הקבל בגודל 3 אמפר משורטט כלפי מעלה בזווית 90°+ ומקדים את המתח ברבע מחזור. הזרם הכללי הוא הסכום הפאזורי — רכיב אופקי 3 אמפר ורכיב אנכי כלפי מטה 4 אמפר, אורכו 5 אמפר, והוא מפגר אחרי המתח בזווית:

φ = arctan(IL - ICIR) = arctan(43) = 53.13°

הזרם הכללי מפגר אחרי המתח, ולכן אופי המעגל השראותי.

φ ≈ 53.1° (אופי השראותי)
שאלה 7 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור משולש
נתונים: U(קווי) = 400V · f = 50Hz · Z = 16 + j10  Ω לכל מופע · חיבור משולש
סעיף א — הזרם המופעי והזרם הקווי

גודל העכבה וזווית המופע שלה:

|Z| = √162 + 102 = √256 + 100 = √356 = 18.87  Ω
φ = arctan(1016) = 32°

בחיבור משולש המתח על כל מופע שווה למתח הקווי, והזרם הקווי גדול פי שורש שלוש מהזרם המופעי:

I(מופעי) = U(קווי)|Z| = 40018.87 ≈ 21.2 A
I(קווי) = √3 · I(מופעי) = 1.732 × 21.2 ≈ 36.7 A
I(מופעי) ≈ 21.2 A ; I(קווי) ≈ 36.7 A
סעיף ב — גורם ההספק
cos φ = R|Z| = 1618.87

הזרם מפגר אחרי המתח, ולכן גורם ההספק השראותי.

cos φ ≈ 0.848 (השראותי)
סעיף ג — ההספק הממשי, ההספק ההיגבי וההספק המדומה
P = 3 · I(מופעי)2 · R = 3 × 21.22 × 16 ≈ 21.57 kW
Q = 3 · I(מופעי)2 · XL = 3 × 449.4 × 10 ≈ 13.48 kvar
S = 3 · U(מופעי) · I(מופעי) = 3 × 400 × 21.2 ≈ 25.44 kVA

בדיקה לפי משולש ההספקים:

S = √P2 + Q2 = √21.572 + 13.482 ≈ 25.44 kVA ✓
P ≈ 21.57 kW ; Q ≈ 13.48 kvar ; S ≈ 25.44 kVA
סעיף ד — משולש ההספקים

המשולש הוא משולש ישר-זווית שבו הניצב האופקי מייצג את ההספק הממשי P = 21.57 קילו-וואט, הניצב האנכי מייצג את ההספק ההיגבי Q = 13.48 קילו-וואר, והיתר מייצג את ההספק המדומה S = 25.44 קילו-וולט-אמפר. הזווית שבין P ל-S היא זווית המופע φ = 32°, שעבורה גורם ההספק שווה ל-0.848.

שאלה 8 — מעגל RLC טורי בתהודה
נתונים: R = 5 Ω · L = 7mH · C = 150µF · U = 12V · מצב תהודה
סעיף א — התנאי לתהודה

מעגל RLC טורי נכנס למצב תהודה כאשר היגב הסליל שווה להיגב הקבל. במצב זה שני ההיגבים מבטלים זה את זה, העכבה הכוללת מזערית ושווה להתנגדות בלבד, הזרם במעגל מרבי, והזרם והמתח נמצאים באותו מופע — זווית המופע אפס וגורם ההספק שווה לאחד. התנאי מתקיים בתדר מסוים הנקרא תדר התהודה:

XL = XC
סעיף ב — תדר התהודה
f₀ = 12π √L · C = 12π √7 × 10-3 × 150 × 10-6 = 12π √1.05 × 10-6 = 12π × 1.0247 × 10-3
f₀ ≈ 155.3 Hz
סעיף ג — הזרם במעגל במצב תהודה

בתהודה העכבה שווה להתנגדות בלבד:

I = UZ = UR = 125
I = 2.4 A
סעיף ד — המתחים על הנגד, על הסליל ועל הקבל בתהודה
UR = I · R = 2.4 × 5 = 12 V
XL = 2π f₀ L = 2π × 155.3 × 7 × 10-3 = 6.83  Ω
UL = I · XL = 2.4 × 6.83 ≈ 16.4 V
UC = I · XC = 2.4 × 6.83 ≈ 16.4 V

המתחים על הסליל ועל הקבל שווים בגודלם והפוכים במופעם, ולכן הם מבטלים זה את זה, והמתח על הנגד שווה בדיוק למתח המקור.

UR = 12 V ; UL ≈ 16.4 V ; UC ≈ 16.4 V
📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות
שאלה 9 — פונקצייה בוליאנית ומפת קרנו
נתונים: פונקצייה בוליאנית F של שלושה משתנים x, y, z
סעיף א — הצגת הפונקצייה על גבי מפת קרנו

הפונקצייה הנתונה:

F(x,y,z) = x y z + x y z + x y z + x y z + x y z

חמש המכפלות מתאימות למינטרמים שבהם F שווה 1: m0 (000), m1 (001), m3 (011), m4 (100), m7 (111). נעביר את הערכים למפת קרנו — שורות לפי x, עמודות לפי yz בסדר קוד גרֵיי:

x \ yz00011110
01110
11010
סעיף ב — צמצום הפונקצייה

נאתר זוגות של אחדים סמוכים במפה. בעמודה yz=00 (התאים m0 ו-m4) המשתנה x משתנה בין התאים ומתקבל הגורם המשלים של y כפול המשלים של z. בעמודה yz=11 (התאים m3 ו-m7) המשתנה x משתנה ומתקבל הגורם y כפול z. בתאים m1 ו-m3 (השורה x=0, העמודות 01 ו-11) המשתנה y משתנה ומתקבל הגורם המשלים של x כפול z:

F = y z + y z + x z

הצבת כל שמונת הצירופים בביטוי המצומצם מחזירה בדיוק את חמשת המינטרמים הנתונים.

F = y · z + y · z + x · z
סעיף ג — מימוש הפונקצייה המצומצמת בשערים לוגיים

נדרשים שלושה שערי NOT ליצירת המשלים של x, של y ושל z. שלושה שערי AND דו-כניסיים: הראשון מקבל את המשלים של y ואת המשלים של z ומוציא את מכפלתם, השני מקבל את y ו-z, והשלישי מקבל את המשלים של x ואת z. שער OR תלת-כניסי מקבל את שלוש יציאות שערי ה-AND, וביציאתו מתקבלת הפונקצייה F.

שאלה 10 — טבלת אמת, מפת קרנו ומימוש ברכיבים 7404 / 7408 / 7432
נתונים: טבלת אמת של פונקצייה F של שלושה משתנים A, B, C · מימוש ברכיבים 7404 / 7408 / 7432
סעיף א — מפת קרנו ופישוט הפונקצייה

טבלת האמת של הפונקצייה:

ABCF
0000
0010
0101
0110
1001
1011
1101
1110

הפונקצייה שווה 1 במינטרמים m2 (010), m4 (100), m5 (101), m6 (110). נעביר אותם למפת קרנו:

A \ BC00011110
00001
11101

נאתר זוגות של אחדים סמוכים. בתאים m4 ו-m5 (השורה A=1, העמודות 00 ו-01) המשתנה C משתנה ומתקבל הגורם A כפול המשלים של B. בעמודה BC=10 (התאים m2 ו-m6) המשתנה A משתנה ומתקבל הגורם B כפול המשלים של C:

F = A B + B C

הצבת כל שמונת הצירופים בביטוי המפושט מחזירה בדיוק את טבלת האמת הנתונה.

F = A · B + B · C
סעיף ב — מימוש על גבי הרכיבים 7404, 7408, 7432

הרכיב 7404 מכיל שישה שערי NOT, הרכיב 7408 מכיל ארבעה שערי AND דו-כניסיים, והרכיב 7432 מכיל ארבעה שערי OR דו-כניסיים. המימוש דורש שני שערי NOT, שני שערי AND ושער OR אחד. בכל אחד משלושת הרכיבים מחברים את הדק 14 למתח ההזנה 5V+ ואת הדק 7 לאדמה.

חיבורי האותות: הכניסה B מחוברת להדק 1 של 7404 וביציאתו, הדק 2, מתקבל המשלים של B. הכניסה C מחוברת להדק 3 של 7404 וביציאתו, הדק 4, מתקבל המשלים של C. ברכיב 7408 הכניסה A מחוברת להדק 1 והאות המשלים של B מחובר להדק 2, וביציאה, הדק 3, מתקבל A כפול המשלים של B. ברכיב 7408 הכניסה B מחוברת להדק 4 והאות המשלים של C מחובר להדק 5, וביציאה, הדק 6, מתקבל B כפול המשלים של C. ברכיב 7432 שני האותות מחוברים להדקים 1 ו-2, וביציאה, הדק 3, מתקבלת הפונקצייה F.

🏠