הצעה לפתרון מלא — חשמל 845381

הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל

בגרות · מועד 2021 · שאלון 845381 · שאלות 1–10

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

💡

על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, מועד 2021. בשאלון עשר שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון — מעגלי זרם ישר (שאלות 1–4), פרק שני — זרם חילופין (שאלות 5–8), ופרק שלישי — מערכות ספרתיות (שאלות 9–10).

שאלה 1 — לולאה עם נגד בטור וצירוף מקבילי

נתונים: E = 48V · R₁ = 7 Ω · R₂ = 10 Ω · R₃ = 6 Ω · R₄ = 4 Ω

💡

מבנה המעגל: הנגד R₁ מחובר בטור למקור; הנגד R₂ מחובר במקביל לצירוף הטורי של R₃ ו-R₄.

סעיף א — ההתנגדות השקולה של המעגל

R₃ ו-R₄ מחוברים בטור, הצירוף שלהם מקביל ל-R₂, והכול בטור ל-R₁:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

Rₚ = R₂ · R₃₄R₂ + R₃₄ = 10 × 1010 + 10 = 5 Ω

R_T = R₁ + Rₚ = 7 + 5 = 12 Ω

R_T = 12 Ω

סעיף ב — הזרם דרך R₁

R₁ נמצא בטור למקור, ולכן זורם דרכו הזרם הכולל של המעגל:

I₁ = ER_T = 4812 = 4 A

I₁ = 4 A

סעיף ג — המתח על R₄

נחשב את המתח על הקבוצה המקבילית, ממנו את הזרם בענף הטורי, וממנו את המתח על R₄:

Uₚ = I₁ · Rₚ = 4 × 5 = 20 V

I₃₄ = UₚR₃₄ = 2010 = 2 A

U_R4 = I₃₄ · R₄ = 2 × 4 = 8 V

U_R4 = 8 V

שאלה 2 — שני מקורות, רשת דו-צמתית

נתונים: E₁ = 22V · R₁ = 6 Ω · R₂ = 4 Ω · R₃ = 10 Ω · R₄ = 6 Ω · E₂ = 18V

💡

מבנה המעגל: שלושה ענפים מחוברים בין הצומת העליון לצומת התחתון — ענף שמאלי עם E₁ בטור ל-R₁, ענף אמצעי עם R₂, וענף ימני עם R₃ ו-R₄ בטור למקור E₂.

סעיף א — המתח על R₂

נסמן ב-V את מתח הצומת העליון (המתח על R₂) ונרשום משוואת צומת לפי חוק הזרמים של קירכהוף. בענף הימני ההתנגדות הכוללת היא R₃ + R₄ = 16 Ω:

E₁ - VR₁ + E₂ - VR₃ + R₄ = VR₂

22 - V6 + 18 - V16 = V4

נכפול את שני האגפים ב-48:

8(22 - V) + 3(18 - V) = 12V

176 + 54 = 12V + 8V + 3V → 230 = 23V → V = 10 V

U_R2 = 10 V

סעיף ב — הזרם דרך R₁ וכיוונו

I₁ = E₁ - VR₁ = 22 - 106 = 2 A

התוצאה חיובית, ולכן הזרם זורם מהמקור E₁ דרך R₁ אל הצומת העליון (משמאל לימין באיור), כלומר המקור E₁ מספק זרם למעגל.

I₁ = 2 A

סעיף ג — ההספק המתפתח בנגד R₄

הזרם בענף הימני זורם דרך R₃ ו-R₄:

I₃ = E₂ - VR₃ + R₄ = 18 - 1016 = 0.5 A

בדיקת צומת: הסכום I₁ + I₃ שווה ל-2 + 0.5 = 2.5 A, וזה בדיוק הזרם דרך R₂ שערכו V/R₂ = 10/4 — מתקיים. ומכאן ההספק בנגד R₄:

P_R4 = I₃² · R₄ = 0.5² × 6 = 1.5 W

P_R4 = 1.5 W

שאלה 3 — מעגל קבלים בטור ובמקביל

נתונים: E = 24V · C₁ = 10µF · C₂ = 18µF · C₃ = 20µF · C₄ = 30µF

💡

מבנה המעגל: הקבל C₁ מחובר בטור למקור; הקבל C₂ מחובר במקביל לצירוף הטורי של C₃ ו-C₄.

סעיף א — הקיבול השקול של המעגל

C₃ ו-C₄ בטור, הצירוף במקביל ל-C₂, והתוצאה בטור ל-C₁:

C₃₄ = C₃ · C₄C₃ + C₄ = 20 × 3020 + 30 = 12 µF

Cₚ = C₂ + C₃₄ = 18 + 12 = 30 µF

C_T = C₁ · CₚC₁ + Cₚ = 10 × 3010 + 30 = 7.5 µF

C_T = 7.5 µF

סעיף ב — המטען האגור בקבל C₁

C₁ מחובר בטור למקור, ולכן הוא נושא את המטען הכולל שהמקור מספק:

Q₁ = Q_T = C_T · E = 7.5 × 24 = 180 µC

Q₁ = 180 µC

סעיף ג — האנרגייה האגורה בקבל C₄

נמצא את המתח על C₁, ממנו את המתח על הקבוצה המקבילית, וממנו את המתח על C₄:

U_C1 = Q₁C₁ = 18010 = 18 V

Uₚ = E - U_C1 = 24 - 18 = 6 V

Q₃₄ = C₃₄ · Uₚ = 12 × 6 = 72 µC

U_C4 = Q₃₄C₄ = 7230 = 2.4 V

W_C4 = 12 · C₄ · U_C4² = 0.5 × 30 × 10^-6 × 2.4² = 86.4 × 10^-6 J

W_C4 = 86.4 µJ

שאלה 4 — מעגל עם מד-זרם אידיאלי

נתונים: E = 20V · I = 0.5A · R₂ = 20 Ω · R₃ = 5 Ω · R₁ אינו נתון

💡

מבנה המעגל: R₁ מחובר בטור למקור; R₂ (בטור למד-זרם אידיאלי) מחובר במקביל ל-R₃.

סעיף א — ההתנגדות השקולה של המעגל

לפי חוק אום למעגל השלם:

R_T = EI = 200.5 = 40 Ω

R_T = 40 Ω

סעיף ב — ההתנגדות של הנגד R₁

מד-הזרם אידיאלי והתנגדותו אפס, ולכן R₂ ו-R₃ מקבילים זה לזה:

Rₚ = R₂ · R₃R₂ + R₃ = 20 × 520 + 5 = 4 Ω

R₁ = R_T - Rₚ = 40 - 4 = 36 Ω

R₁ = 36 Ω

סעיף ג — קריאת מד-הזרם

נחשב את המתח על הקבוצה המקבילית, וממנו את הזרם דרך R₂ — הוא הזרם שמד-הזרם מודד:

Uₚ = I · Rₚ = 0.5 × 4 = 2 V

I_A = UₚR₂ = 220 = 0.1 A

I_A = 0.1 A

🔌 פרק שני — זרם חילופין

שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

נתונים: R = 60 Ω · L = 250mH · C = 20µF · u(t) = 10√2 sin(500t)V · U = 10V · ω = 500 rad/s

סעיף א1 — עכבת המעגל

X_L = ω L = 500 × 0.25 = 125 Ω

X_C = 1ω C = 1500 × 20 × 10^-6 = 100 Ω

Z = R + j(X_L - X_C) = 60 + j25 Ω

|Z| = √60² + 25² = √4225 = 65 Ω ; φ = arctan(2560) = 22.62°

Z = 60 + j25 Ω = 65 ∠ 22.62° Ω

סעיף א2 — אופיו של המעגל

ההיגב ההשראותי גדול מההיגב הקיבולי, החלק המדומה חיובי והזווית חיובית, ולכן אופי המעגל השראותי — הזרם מפגר אחרי המתח.

סעיף ב — הזרם היעיל במעגל

I = U|Z| = 1065 = 0.154 A

בכתיב מרוכב, כאשר מתח המקור בזווית אפס, הזרם מפגר בזווית העכבה:

I = 0.154 ∠ -22.62° A

I = 0.154 A

סעיף ג — המתחים היעילים על הרכיבים

המתח על הנגד בפאזה עם הזרם, המתח על הסליל מקדים את הזרם ב-90°, והמתח על הקבל מפגר אחרי הזרם ב-90°:

U_R = I · R = 0.154 × 60 = 9.23 V → U_R = 9.23 ∠ -22.62° V

U_L = I · X_L = 0.154 × 125 = 19.23 V → U_L = 19.23 ∠ 67.38° V

U_C = I · X_C = 0.154 × 100 = 15.38 V → U_C = 15.38 ∠ -112.62° V

U_R = 9.23 ∠ -22.62° V ; U_L = 19.23 ∠ 67.38° V ; U_C = 15.38 ∠ -112.62° V

שאלה 6 — מעגל מקבילי R, L, C בזרם חילופין

נתונים: U = 230V · f = 50Hz · R = 460 Ω · I_L = 0.6A (קריאת A₁) · I_C = 0.4A (קריאת A₂) · חיבור מקבילי

סעיף א — הזרם הכולל I

זרם הנגד בפאזה עם המתח:

I_R = UR = 230460 = 0.5 A

זרם הסליל מפגר אחרי המתח ב-90° וזרם הקבל מקדים ב-90°, ולכן הם מנוגדים זה לזה:

I = I_R + j(I_C - I_L) = 0.5 + j(0.4 - 0.6) = 0.5 - j0.2 A

|I| = √0.5² + 0.2² = √0.29 = 0.539 A ; φ = arctan(-0.20.5) = -21.8°

הזווית שלילית, ולכן אופי הזרם הכולל השראותי — הזרם מפגר אחרי המתח.

I = 0.5 - j0.2 A = 0.539 ∠ -21.8° A

סעיף ב — ההספק הפעיל של המעגל

הספק פעיל מתפתח רק בנגד:

P = U · I_R = 230 × 0.5 = 115 W

P = 115 W

סעיף ג — השראות הסליל L

X_L = UI_L = 2300.6 = 383.33 Ω

L = X_L2π f = 383.332π × 50 = 383.33314.16 = 1.22 H

L ≈ 1.22 H

שאלה 7 — מעגל RLC טורי בתהודה

נתונים: R = 1 kΩ · L = 0.2H · C = 2µF · U = 200V

סעיף א — התנאי לתהודה

המעגל נמצא במצב תהודה כאשר ההיגב ההשראותי שווה להיגב הקיבולי. במצב זה החלק המדומה של העכבה מתאפס, העכבה ממשית ומינימלית, והזרם נמצא בפאזה עם מתח המקור:

X_L = X_C ⇔ ω L = 1ω C

סעיף ב — תדר התהודה

f₀ = 12π √L C = 12π √0.2 × 2 × 10^-6 = 12π × 6.325 × 10^-4 = 251.6 Hz

f₀ ≈ 251.6 Hz

סעיף ג — עכבת המעגל במצב תהודה

בתהודה ההיגבים מבטלים זה את זה, ונותרת ההתנגדות בלבד:

Z₀ = R = 1 kΩ = 1000 Ω

Z₀ = 1 kΩ

סעיף ד — הזרם במעגל במצב תהודה

I₀ = UR = 2001000 = 0.2 A

I₀ = 0.2 A

שאלה 8 — רשת תלת-מופעית, עומס סימטרי בחיבור כוכב

נתונים: U(קווי) = 400V · f = 50Hz · Z = 20 + j15 Ω לכל מופע · חיבור כוכב

סעיף א — הזרם הקווי והזרם המופעי

|Z| = √20² + 15² = √625 = 25 Ω ; φ = arctan(1520) = 36.87°

בחיבור כוכב המתח המופעי קטן פי שורש שלוש מהמתח הקווי, והזרם הקווי שווה לזרם המופעי:

U(מופעי) = U(קווי)√3 = 4001.732 = 231 V

I(מופעי) = 23125 = 9.24 A

I(קווי) = I(מופעי) = 9.24 A

סעיף ב — ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה

cos φ = R|Z| = 2025 = 0.8 ; sin φ = X|Z| = 1525 = 0.6

S = √3 · U(קווי) · I(קווי) = 1.732 × 400 × 9.24 = 6400 VA

P = S · cos φ = 6400 × 0.8 = 5120 W

Q = S · sin φ = 6400 × 0.6 = 3840 var

P = 5120 W ; Q = 3840 var ; S = 6400 VA

סעיף ג — משולש ההספקים

משולש ההספקים הוא משולש ישר-זווית: הניצב האופקי הוא ההספק הפעיל P = 5120 W; הניצב האנכי הוא ההספק ההיגבי Q = 3840 var, המצויר כלפי מעלה מפני שהעומס השראותי; היתר הוא ההספק המדומה S = 6400 VA. הזווית שבין P ל-S היא φ = 36.87°. נוודא לפי משפט פיתגורס:

√P² + Q² = √5120² + 3840² = √40960000 = 6400 VA = S ✓

S = 6400 VA ∠ 36.87°

📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות

שאלה 9 — פישוט פונקציות בוליאניות

נתונים: הפונקציה F₁ נתונה כביטוי בוליאני · הפונקציה F₂ נתונה בטבלת אמת של שלושה משתנים A, B, C

סעיף א — פישוט הפונקציה F₁

נתון הביטוי:

F₁(A,B,C) = A · B · C + A + A · B · C

נוציא גורם משותף מהאיבר הראשון ומהאיבר השלישי:

A · B · C + A · B · C = A · C(B + B) = A · C · 1 = A · C

F₁ = A + A · C

לפי הזהות X + X · Y = X + Y מתקבל:

F₁ = A + C

סעיף ב1 — מפת קרנו לפונקציה F₂ ופישוטה

מטבלת האמת הפונקציה שווה 1 בכל השורות פרט לשתיים: A=0, B=1, C=0 וכן A=1, B=1, C=1. מפת קרנו:

A \ BC	00	01	11	10
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1

הקיבוצים: רביעייה של כל התאים שבהם B=0 (העמודות 00 ו-01), זוג התאים A · C (השורה העליונה בעמודות 01 ו-11) וזוג התאים A · C (השורה התחתונה בעמודות 00 ו-10):

F₂ = B + A · C + A · C

שני האיברים האחרונים הם פונקציית XOR, ולכן אפשר לרשום גם F₂ = B + (A ⊕ C).

F₂ = B + A · C + A · C

סעיף ב2 — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים

המימוש הישיר של הפונקציה המפושטת דורש שלושה שערי NOT ליצירת המשלימים של A, B ו-C; שני שערי AND דו-כניסיים — האחד למכפלה A · C והשני למכפלה A · C; ושער OR תלת-כניסי המחבר את B, את A · C ואת A · C ונותן במוצאו את F₂. לחלופין אפשר לממש בעזרת שער XOR יחיד עבור A ⊕ C, מהפך יחיד עבור B ושער OR דו-כניסי.

שאלה 10 — מערכת שערים ופישוטה

נתונים: לפי התרשים — שער AND שכניסותיו X ו-$Y$ נותן את F₁ · שער NAND שכניסותיו $Y$ ו-$Z$ נותן את F₂ · שער OR מחבר את F₁ ו-F₂ ונותן את F

סעיף א — ביטויי הפונקציות F₁, F₂ ו-F

מוצא שער ה-AND:

F₁ = X · Y

את מוצא שער ה-NAND נפתח לפי משפט דה-מורגן:

F₂ = Y · Z = Y + Z

F = F₁ + F₂ = X · Y + Y + Z

F₁ = X · Y ; F₂ = Y · Z = Y + Z ; F = X · Y + Y + Z

סעיף ב — פישוט F למינימום משתנים

לפי הזהות X · Y + Y = X + Y:

F = X · Y + Y + Z = (X + Y) + Z = X + Y + Z

F = X + Y + Z

סעיף ג — ערך הפונקציה עבור X = 1, Y = 0, Z = 0

F = X + Y + Z = 1 + 0 + 0 = 1

בפונקציית OR מספיק שכניסה אחת שווה 1 כדי שהמוצא יהיה 1, וכאן X = 1.

F = 1