הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל
בגרות · קיץ תש״ף 2020 · שאלון 845381 · שאלות 1–10
✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦
💡
על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, קיץ תש״ף 2020. השאלון בנוי משלושה פרקים ועל הנבחן לענות על חמש שאלות בלבד, מהן לפחות אחת מהפרק השני. שאלות 1–8 עוסקות בזרם ישר, בקבלים, במעגלים מגנטיים ובזרם חילופין, ושאלות 9–10 עוסקות במערכות ספרתיות. במסמך זה נפתרו כל עשר השאלות במלואן.
שאלה 1 — מעגל זרם ישר: התנגדות שקולה, מתח וזרם
נתונים: E = 50V · R₁ = 5 Ω · R₂ = 60 Ω · R₃ = 5 Ω · R₄ = 25 Ω
💡
מבנה המעגל: R₁ בטור למקור. הצירוף הטורי של R₃ ו-R₄ מחובר במקביל ל-R₂, וצירוף מקבילי זה מחובר בטור ל-R₁.
סעיף א — ההתנגדות השקולה

הנגדים R₃ ו-R₄ מחוברים בטור זה לזה, והצירוף שלהם מקביל לנגד R₂. התוצאה מתחברת בטור לנגד R₁:

R₃₄ = R₃ + R₄ = 5 + 25 = 30  Ω
Rₚ = R₂ · R₃₄R₂ + R₃₄ = 60 × 3060 + 30 = 180090 = 20  Ω
RT = R₁ + Rₚ = 5 + 20
RT = 25  Ω
סעיף ב — המתח על הנגד R₂

תחילה נחשב את הזרם הכולל שהמקור מספק, ואחריו את המתח על הצירוף המקבילי, שהוא בדיוק המתח על R₂:

I = ERT = 5025 = 2 A
UR₂ = I · Rₚ = 2 × 20
UR₂ = 40 V
סעיף ג — מדידת הזרם דרך R₄

כדי למדוד את הזרם העובר בנגד R₄ יש לחבר מד-זרם אידיאלי בטור לנגד R₄, בתוך הענף של R₃ ו-R₄. הזרם בענף שווה למתח על הצירוף המקבילי מחולק בהתנגדות הענף:

I₄ = UR₂R₃ + R₄ = 4030

מד-זרם אידיאלי בעל התנגדות אפסית אינו משנה את זרמי המעגל, ולכן יראה את הזרם האמיתי בענף.

I₄ ≈ 1.33 A
שאלה 2 — מקור מתח מעשי ומכשירי מדידה
נתונים: E = 1.5V · R₁ = התנגדות פנימית · R₂ = עומס · U = 1.41V · I = 30mA · מכשירים אידיאליים
💡
מבנה המעגל: מקור מתח מעשי — מקור אידיאלי E בטור להתנגדות הפנימית R₁. מד-הזרם מחובר בטור, ומד-המתח מחובר במקביל לנגד R₂.
סעיף א — חישוב R₂ ו-R₁

מד-המתח מודד את המתח על R₂ ומד-הזרם מודד את הזרם העובר בו, ולכן לפי חוק אוהם:

R₂ = UI = 1.410.03 = 47  Ω

המתח שאובד על ההתנגדות הפנימית הוא ההפרש בין הכוח האלקטרו-מניע של המקור לבין המתח בהדקיו:

UR₁ = E - U = 1.5 - 1.41 = 0.09 V
R₁ = UR₁I = 0.090.03
R₂ = 47  Ω ; R₁ = 3  Ω
סעיף ב — הפסדי ההספק הפנימיים במקור

ההספק הנפלט בהתנגדות הפנימית מחושב מריבוע הזרם כפול ההתנגדות:

PR₁ = I2 · R₁ = 0.032 × 3 = 0.0009 × 3
PR₁ = 0.0027 W = 2.7 mW
סעיף ג — חיבור מקור מעשי זהה במקביל

כאשר מחברים במקביל שני מקורות מעשיים זהים, הכוח האלקטרו-מניע השקול נשאר E, וההתנגדות הפנימית השקולה קטנה למחצית:

Rin = R₁2 = 32 = 1.5  Ω
I = ERin + R₂ = 1.51.5 + 47 = 1.548.5 = 30.9 mA
U = I · R₂ = 0.0309 × 47 = 1.45 V

הקטנת ההתנגדות הפנימית מקטינה את מפל המתח הפנימי, ולכן קריאת מד-המתח עולה מעט וגם הזרם גדל מעט.

I ≈ 30.9 mA ; U ≈ 1.45 V
שאלה 3 — חיבור מעורב של קבלים
נתונים: C₁ = 60µF · C₂ = 15µF · C₃ = 5µF · C₄ = 30µF · U₄ = 50V
💡
מבנה המעגל: C₁ בטור לצירוף המקבילי של C₂ ו-C₃, ובטור לקבל C₄.
סעיף א — הקיבול השקול

הקבלים C₂ ו-C₃ מחוברים במקביל, ולכן קיבוליהם מתחברים, ואז שלושת הצירופים בטור:

C₂₃ = C₂ + C₃ = 15 + 5 = 20 µF
1CT = 1C₁ + 1C₂₃ + 1C₄ = 160 + 120 + 130 = 660
CT = 10 µF
סעיף ב — מתח המקור

בחיבור טורי המטען על כל הקבלים שווה. נחשב את המטען דרך C₄ שמתחו נתון:

Q = C₄ · U₄ = 30 × 10-6 × 50 = 1500 µC
E = QCT = 1500 × 10-610 × 10-6
E = 150 V
סעיף ג — המטען האגור בקבל C₃

המתח על הצירוף המקבילי שווה למטען הטורי מחולק בקיבול השקול של הצירוף:

U₂₃ = QC₂₃ = 1500 × 10-620 × 10-6 = 75 V
Q₃ = C₃ · U₂₃ = 5 × 10-6 × 75
Q₃ = 375 µC
סעיף ד — האנרגייה האגורה בקבל C₁
U₁ = QC₁ = 1500 × 10-660 × 10-6 = 25 V
W₁ = 12 · C₁ · U₁2 = 0.5 × 60 × 10-6 × 252

בדיקת עקיבות: סכום המתחים 25 + 75 + 50 = 150 V שווה למתח המקור, כנדרש.

W₁ = 0.01875 J = 18.75 mJ
שאלה 4 — מעגל מגנטי (טבעת ברזל)
נתונים: N = 1000 · µr = 1000 · µ₀ = 4π × 10-7 · A = 0.8 × 10-4 m2 · ℓ = 0.8m · B = 2.5 Wb/m2
סעיף א — השטף המגנטי במעגל
Φ = B · A = 2.5 × 0.8 × 10-4 = 2 × 10-4 Wb
Φ = 0.2 mWb
סעיף ב — החדירות של המעגל המגנטי

החדירות המוחלטת היא מכפלת החדירות היחסית בחדירות האוויר:

µ = µr · µ₀ = 1000 × 4π × 10-7
µ ≈ 1.257 × 10-3  Ω · s/m
סעיף ג — המיאון (ההתנגדות המגנטית)
Rₘ = ℓµ · A = 0.81.257 × 10-3 × 0.8 × 10-4
Rₘ ≈ 7.96 × 106  A/Wb
סעיף ד — הזרם בסליל

לפי חוק אוהם למעגל מגנטי, הכוח המגנטו-מניע שווה למכפלת השטף במיאון:

Fₘ = N · I = Φ · Rₘ = 2 × 10-4 × 7.96 × 106 = 1591.5 A
I = 1591.5N = 1591.51000

דרך חלופית: עוצמת השדה H = B/µ ≈ 1989.4 A/m, ולכן N·I = H·ℓ ≈ 1591.5 אמפר-כריכות — אותה תוצאה.

I ≈ 1.59 A
🔌 פרק שני — זרם חילופין
שאלה 5 — מעגל מקבילי בזרם חילופין
נתונים: R = 60 Ω · XL = 30 Ω · XC = 20 Ω · IL = 4∠-90° A · f = 50Hz · חיבור מקבילי
סעיף א — פאזור מתח המקור

במעגל מקבילי המתח משותף לכל הענפים. הזרם בסליל מפגר אחרי המתח ב-90°, ולכן פאזור המתח מתקבל ממכפלת פאזור הזרם בהיגב ההשראותי:

U = IL · XL = 4∠-90° × 30∠90° = 120∠0° V
U = 120∠0° V
סעיף ב — הזרמים והזרם הכולל

הזרם בנגד נמצא במופע עם המתח, והזרם בקבל מקדים את המתח ב-90°:

IR = UR = 120∠0°60 = 2∠0° A = 2 + j0 A
IC = UXC = 120∠0°20∠-90° = 6∠90° A = 0 + j6 A

הזרם הכולל הוא הסכום הפאזורי של שלושת זרמי הענפים:

I = IR + IL + IC = 2 + (-j4) + (j6) = 2 + j2 A = 2.83∠45° A
IR = 2∠0° A ; IC = 6∠90° A ; I = 2 + j2 = 2.83∠45° A
סעיף ג — עכבת המעגל ואופיו
Z = UI = 120∠0°2.83∠45° = 42.43∠-45°  Ω = 30 - j30  Ω

זווית העכבה שלילית, כלומר הזרם הכולל מקדים את המתח ב-45° (זרם הקבל גדול מזרם הסליל) — המעגל קיבולי.

Z = 42.43∠-45°  Ω
שאלה 6 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין
נתונים: R = 30 Ω · L = 4mH · C = 8µF · i(t) = 2√2sin(104t) A · ω = 104 rad/s · I = 2A
סעיף א — העכבה השקולה ואופי המעגל
XL = ω · L = 104 × 4 × 10-3 = 40  Ω
XC = 1ω · C = 1104 × 8 × 10-6 = 12.5  Ω
Z = R + j(XL - XC) = 30 + j27.5  Ω
|Z| = √302 + 27.52 = √1656.25 = 40.7  Ω
φ = arctan(27.530) = 42.5°

ההיגב ההשראותי גדול מההיגב הקיבולי, ולכן המתח מקדים את הזרם ב-42.5° — המעגל השראותי.

Z ≈ 40.7∠42.5°  Ω
סעיף ב — המתחים על הרכיבים ומתח המקור

נבחר את פאזור הזרם כציר הייחוס: I = 2∠0° A.

UR = I · R = 2 × 30 = 60∠0° V
UL = I · XL = 2 × 40 = 80∠90° V
UC = I · XC = 2 × 12.5 = 25∠-90° V
U = UR + j(UL - UC) = 60 + j55 V = 81.4∠42.5° V
UR = 60∠0° V ; UL = 80∠90° V ; UC = 25∠-90° V ; U = 60 + j55 ≈ 81.4∠42.5° V
סעיף ג — ההספקים P, Q, S
P = I2 · R = 22 × 30 = 120 W
Q = I2 · (XL - XC) = 4 × 27.5 = 110 var
S = U · I = 81.4 × 2 = 162.8 VA

בדיקה לפי משולש ההספקים:

S = √P2 + Q2 = √1202 + 1102 ≈ 162.8 VA ✓
P = 120 W ; Q = 110 var ; S ≈ 162.8 VA
שאלה 7 — מעגל RLC טורי במצב תהודה
נתונים: R = 200 Ω · UL = 18V · Uₘ = 7.07V · שני מחזורים שלמים באלפית שנייה · מצב תהודה
סעיף א — זמן המחזור ותדר התהודה

מן הגרף, מחזור שלם אחד נמשך חצי אלפית השנייה:

T = 0.5 msec = 0.5 × 10-3 s
f₀ = 1T = 10.5 × 10-3
T = 0.5 msec ; f₀ = 2000 Hz = 2 kHz
סעיף ב — הערך היעיל של הזרם

הערך היעיל של מתח המקור מתקבל מחלוקת המשרעת בשורש שתיים, ובמצב תהודה העכבה שווה להתנגדות בלבד:

U = Uₘ√2 = 7.071.414 = 5 V
I = UR = 5200 = 0.025 A
I = 25 mA
סעיף ג — היגב הקבל וקיבולו

במצב תהודה ההיגבים שווים בגודלם, ולכן היגב הקבל שווה להיגב הסליל, המחושב מקריאת מד-המתח:

XL = ULI = 180.025 = 720  Ω
XC = XL = 720  Ω
C = 12π · f₀ · XC = 12π × 2000 × 720
C ≈ 0.11 µF ≈ 110.5 nF
שאלה 8 — עומס תלת-מופעי סימטרי בחיבור משולש
נתונים: U(קווי) = 400V · f = 50Hz · R = 30 Ω · XL = 40 Ω · חיבור משולש
סעיף א — הזרם המופעי

בחיבור משולש המתח על כל מופע שווה למתח הקווי:

U(מופעי) = U(קווי) = 400 V
Z(מופעי) = √R2 + XL2 = √302 + 402 = √2500 = 50  Ω
I(מופעי) = U(מופעי)Z(מופעי) = 40050
I(מופעי) = 8 A
סעיף ב — הזרם הקווי

בחיבור משולש הזרם הקווי גדול פי שורש שלוש מהזרם המופעי:

I(קווי) = √3 · I(מופעי) = 1.732 × 8
I(קווי) ≈ 13.86 A
סעיף ג — ההספקים P, Q, S
cos φ = RZ = 3050 = 0.6  ;  sin φ = XLZ = 4050 = 0.8
P = 3 · U(מופעי) · I(מופעי) · cos φ = 3 × 400 × 8 × 0.6 = 5760 W
Q = 3 · U(מופעי) · I(מופעי) · sin φ = 3 × 400 × 8 × 0.8 = 7680 var
S = 3 · U(מופעי) · I(מופעי) = 3 × 400 × 8 = 9600 VA

בדיקה לפי ההספק המדומה בחיבור תלת-מופעי:

S = √3 · U(קווי) · I(קווי) = 1.732 × 400 × 13.86 ≈ 9600 VA ✓
P = 5.76 kW ; Q = 7.68 kvar ; S = 9.6 kVA
📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות
שאלה 9 — בסיסי ספירה ושערים לוגיים
נתונים: המרת המספר 37 עשרוני לבסיסים 2, 8, 16 · מערכת שערים לוגיים מהאיור
סעיף א — הצגת המספר 37 בבסיסים 2, 8, 16

המרה לבסיס 2 בשיטת החלוקות החוזרות (השאריות נקראות מלמטה למעלה):

37 : 2 = 18  (1)  ;  18 : 2 = 9  (0)  ;  9 : 2 = 4  (1)
4 : 2 = 2  (0)  ;  2 : 2 = 1  (0)  ;  1 : 2 = 0  (1)

המרה לבסיס 8 ולבסיס 16 בחלוקה יחידה:

37 : 8 = 4  (5)  →  (45)₈
37 : 16 = 2  (5)  →  (25)₁₆

בדיקה: 100101 בבסיס 2 שווה 32 + 4 + 1 = 37, וכן 4·8 + 5 = 37 ו-2·16 + 5 = 37.

(37)₁₀ = (100101)₂ = (45)₈ = (25)₁₆
סעיף ב1 — כתיבת הפונקצייה מן האיור

באיור הכניסה A עוברת דרך מהפך, הכניסה B עוברת דרך מהפך, שתי היציאות נכנסות לשער AND, ויציאת ה-AND עוברת דרך מהפך נוסף אל F:

F = A · B
F = A · B
סעיף ב2 — פישוט באמצעות האלגברה הבוליאנית

לפי משפט דה-מורגן, המשלים של מכפלה שווה לסכום המשלימים, והמשלים הכפול מתבטל:

F = A · B = A + B = A + B

כלומר המעגל כולו שקול לשער OR פשוט בעל שתי כניסות.

F = A + B
שאלה 10 — מפת קרנו ומימוש פונקצייה
נתונים: פונקצייה F של שלושה משתנים A, B, C נתונה במפת קרנו
סעיף א — פישוט הפונקצייה במינימום משתנים

מפת קרנו של הפונקצייה — שורות לפי C, עמודות לפי AB:

C \ AB00011110
00110
11001

המקומות שבהם F = 1 הם ‎A B C‎, ‎A B C‎, ‎A  B C‎ ו-‎A B C‎. נקבץ זוגות שבהם A משתנה:

F = A B C + A B C + A  B C + A B C
F = B C (A + A) + B C (A + A) = B C + B C

המשתנה A אינו משפיע על הפונקצייה. הביטוי המתקבל הוא בדיוק פעולת XOR בין B ל-C — הפונקצייה שווה 1 כאשר B ו-C שונים זה מזה.

F = B C + B C = B ⊕ C
סעיף ב — מימוש הפונקצייה המפושטת בשערים לוגיים

המימוש הפשוט ביותר הוא שער XOR יחיד ששתי כניסותיו B ו-C ויציאתו F. לחלופין, בלי שער XOR, אפשר לממש בשני מהפכים, שני שערי AND ושער OR לפי הביטוי ‎B C + B C‎.

סעיף ג — מימוש על גבי מערך המעגלים המשולבים שבנספח

מבין הרכיבים שבנספח בוחרים את המעגל המשולב 7486, המכיל ארבעה שערי XOR בעלי שתי כניסות. אופן החיווט:

- מחברים את הכניסה B להדק 1 ואת הכניסה C להדק 2 של הרכיב 7486.

- היציאה F מתקבלת בהדק 3, שהוא יציאת השער הראשון.

- מחברים את הדק 14 אל מתח ההזנה (VCC) ואת הדק 7 אל האדמה (GND).

- הכניסה A אינה נדרשת כלל, מפני שהפונקצייה המפושטת אינה תלויה בה. את כניסות השערים שאינם בשימוש נהוג לחבר לאדמה כדי למנוע מצבים לא מוגדרים.

F = B ⊕ C — מומש בשער XOR יחיד מתוך הרכיב 7486
💡
הערה: במבחן יש לענות על חמש שאלות בלבד, מהן לפחות אחת מהפרק השני, אך במסמך זה נפתרו כל עשר השאלות במלואן. כל התוצאות המספריות אומתו בחישוב ממוחשב.
🏠