הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל
בגרות · קיץ תשע"ט 2019 · שאלון 845381 · שאלות 1–10
✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦
💡
על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, קיץ תשע"ט 2019. במסמך פתרון של עשר השאלות, מחולק לשלושה פרקים: זרם ישר, קבלים ומגנטיות (שאלות 1–4), זרם חילופין (שאלות 5–8) ומערכות ספרתיות (שאלות 9–10). לכל סעיף מובאים הנתונים, הנוסחה, ההצבה, התוצאה הסופית עם יחידות והסבר קצר.
שאלה 1 — מעגל זרם ישר עם מפסק
נתונים: E = 90V · R₁ = 20 Ω · R₂ = 30 Ω · R₃ = 60 Ω · R₄ = 30 Ω · R₅ = 50 Ω
💡
מבנה המעגל (SW סגור): הנגדים R₂ ו-R₃ מחוברים במקביל זה לזה, בטור אליהם R₄, וכל הצירוף מקביל ל-R₅. הנגד R₁ מחובר בטור למקור.
סעיף א — ההתנגדות השקולה שרואה המקור (SW סגור)

תחילה מחשבים את השקול של R₂ במקביל ל-R₃, מוסיפים את R₄ בטור, ואת התוצאה מחברים במקביל ל-R₅:

R₂₃ = R₂ · R₃R₂ + R₃ = 30 × 6030 + 60 = 20  Ω
R₂₃₄ = R₂₃ + R₄ = 20 + 30 = 50  Ω
Rₚ = R₂₃₄ · R₅R₂₃₄ + R₅ = 50 × 5050 + 50 = 25  Ω
Req = R₁ + Rₚ = 20 + 25 = 45  Ω
Req = 45  Ω
סעיף ב — המתח על פני הנגד R₁

הזרם הכללי מתקבל מחוק אוהם על כל המעגל, והמתח על R₁ הוא מכפלת הזרם בהתנגדותו:

I = EReq = 9045 = 2 A
UR1 = I · R₁ = 2 × 20 = 40 V
UR1 = 40 V
סעיף ג — הזרם דרך הנגד R₅

המתח על הקטע המקבילי שווה למתח המקור פחות המתח על R₁, ומחוק אוהם מתקבל הזרם:

Uₚ = E - UR1 = 90 - 40 = 50 V
IR5 = UₚR₅ = 5050 = 1 A
IR5 = 1 A
סעיף ד — המעגל כאשר המפסק SW פתוח

כאשר SW פתוח נותק הקשר הישיר בין ראש R₂ לראש R₃, והזרם עובר בהכרח דרך R₂ אל הצומת התחתון. מהצומת קיימים שני מסלולים אל הדק המקור: דרך R₄, או דרך R₃ בטור עם R₅. לכן R₄ מקביל לצירוף הטורי של R₃ ו-R₅:

R₃₅ = R₃ + R₅ = 60 + 50 = 110  Ω
Rₚ = R₄ · R₃₅R₄ + R₃₅ = 30 × 11030 + 110 = 23.57  Ω
Req = R₁ + R₂ + Rₚ = 20 + 30 + 23.57 ≈ 73.57  Ω

המתח על R₁ במצב זה:

I = EReq = 9073.57 ≈ 1.223 A
UR1 = I · R₁ = 1.223 × 20 ≈ 24.47 V
Req ≈ 73.57  Ω ; UR1 ≈ 24.47 V
שאלה 2 — משפט תבנין
נתונים: E = 12V (לכל מקור) · R = 2 Ω (נגד טורי לכל ענף) · RL = 9 Ω
💡
מבנה המעגל: שני מקורות מתח זהים, לכל אחד נגד טורי R, ושני הענפים מחוברים במקביל בין הנקודות A ו-B. בהמשך מחובר נגד עומס R_L בין A ל-B.
סעיף א — התנגדות תבנין R_TH כלפי A ו-B

לחישוב התנגדות תבנין מאפסים את מקורות המתח (מחליפים אותם בקצר). שני הנגדים נראים אז מקבילים בין A ל-B:

RTH = R · RR + R = 2 × 22 + 2 = 1  Ω
RTH = 1  Ω
סעיף ב — מתח תבנין U_TH בין A ל-B

שני המקורות זהים בערכם ובקוטביותם, ולכן בריקם לא זורם זרם סובב בחוג הפנימי ואין נפילת מתח על הנגדים. מתח ההדקים שווה למתח המקור:

I(loop) = E - ER + R = 04 = 0 A
UTH = E = 12 V
UTH = 12 V
סעיף ג — ההספק המתפתח בנגד R_L

מציבים את מעגל התמורה של תבנין ומחשבים את זרם העומס ואת ההספק:

IL = UTHRTH + RL = 121 + 9 = 1.2 A
P(RL) = IL2 · RL = 1.22 × 9 = 12.96 W
P(RL) = 12.96 W
סעיף ד — הזרם I₁ המסומן במעגל

המתח בין A ל-B עם העומס שווה למתח על R_L, והזרם בענף השמאלי מתקבל מהפרש המתחים על הנגד הפנימי:

UAB = IL · RL = 1.2 × 9 = 10.8 V
I₁ = E - UABR = 12 - 10.82 = 0.6 A

משיקולי סימטריה שני המקורות הזהים מתחלקים שווה בזרם העומס, ולכן כל מקור מספק מחצית מ-1.2 A, כלומר 0.6 A.

I₁ = 0.6 A
שאלה 3 — מעגל קבלים
נתונים: C₁ = 2µF · C₂ = 4µF · C₃ = 6µF · C₄ = 8µF · מד-מתח על C₃ מורה U = 2V
💡
מבנה המעגל: C₂ בטור עם C₃ (הנקודה A ביניהם), הצירוף הטורי מקביל ל-C₁, וכל הקבוצה בטור עם C₄ ועם המקור. מד-המתח מודד את המתח על C₃.
סעיף א — המתח והמטען על הקבלים C₂ ו-C₄

בקבלים המחוברים בטור המטען שווה. המטען על C₃ ידוע מהמתח הנמדד, והוא גם המטען של C₂:

QC3 = C₃ · UC3 = 6 × 10-6 × 2 = 12 µC = QC2
UC2 = QC2C₂ = 124 = 3 V

המתח על הענף המקבילי (וגם על C₁) הוא סכום המתחים על C₂ ו-C₃. מכאן מטען C₁, והמטען הכולל שזורם דרך C₄ הוא סכום מטעני שני הענפים:

Uₚ = UC2 + UC3 = 3 + 2 = 5 V
QC1 = C₁ · Uₚ = 2 × 10-6 × 5 = 10 µC
QC4 = QC1 + QC3 = 10 + 12 = 22 µC
UC4 = QC4C₄ = 228 = 2.75 V
UC2 = 3 V ; QC2 = 12 µC ; UC4 = 2.75 V ; QC4 = 22 µC
סעיף ב — גודל מקור המתח E

לפי חוק המתחים של קירכהוף, מתח המקור שווה לסכום המתח על הקבוצה המקבילית והמתח על C₄:

E = Uₚ + UC4 = 5 + 2.75 = 7.75 V
E = 7.75 V
סעיף ג — הקיבול השקול של המעגל

מחשבים את הקיבול הטורי של C₂ ו-C₃, מוסיפים במקביל את C₁, ואת התוצאה מחברים בטור עם C₄:

C₂₃ = C₂ · C₃C₂ + C₃ = 4 × 64 + 6 = 2.4 µF
Cₚ = C₂₃ + C₁ = 2.4 + 2 = 4.4 µF
Ceq = Cₚ · C₄Cₚ + C₄ = 4.4 × 84.4 + 8 ≈ 2.84 µF

בדיקה: המטען הכולל Q = Ceq · E ≈ 22 µC, בהתאמה מלאה למטען שחושב דרך C₄.

Ceq ≈ 2.84 µF
שאלה 4 — מעגל מגנטי
נתונים: N = 100 · l = 1m · A = 0.01 m2 · I = 1A · µr = 800 · µ₀ = 4π × 10-7 H/m
סעיף א — עוצמת השדה המגנטי בליבה

עוצמת השדה המגנטי שווה לכוח המגנטו-מניע ליחידת אורך:

H = N · Il = 100 × 11 = 100 A/m
H = 100 A/m
סעיף ב — צפיפות השטף המגנטי בליבה

צפיפות השטף מתקבלת ממכפלת עוצמת השדה בחדירות המגנטית של הליבה:

B = µ₀ · µr · H = 4π × 10-7 × 800 × 100 ≈ 0.1005 T
B ≈ 0.1 T
סעיף ג — השטף המגנטי בליבה

השטף שווה למכפלת צפיפות השטף בשטח החתך:

Φ = B · A = 0.1005 × 0.01 ≈ 1.005 × 10-3 Wb
Φ ≈ 1 mWb
סעיף ד — המיאון המגנטי של המעגל

המיאון (הרלוקטנציה) מתקבל מאורך המסלול המגנטי חלקי מכפלת החדירות בשטח החתך:

Rₘ = lµ₀ · µr · A = 14π × 10-7 × 800 × 0.01 ≈ 9.95 × 104 A/Wb

בדיקה לפי היחס בין הכוח המגנטו-מניע לשטף: Rₘ = N · IΦ = 1001.005 × 10-3 ≈ 9.95 × 104 A/Wb — מתקבלת אותה תוצאה.

Rₘ ≈ 9.95 × 104 A/Wb
🔌 פרק שני — זרם חילופין
שאלה 5 — מעגל RLC טורי בעל אופי השראותי
נתונים: R = 20 Ω · I = 0.3A · UL = 15V · U = 10V · f = 400Hz · אופי השראותי
סעיף א — המתח על פני הנגד R

במעגל טורי זורם אותו זרם בכל הרכיבים, והמתח על הנגד מתקבל מחוק אוהם:

UR = I · R = 0.3 × 20 = 6 V
UR = 6 V
סעיף ב — היגב הסליל והשראותו

היגב הסליל מתקבל מחלוקת המתח עליו בזרם, וההשראות מההיגב ומהתדר:

XL = ULI = 150.3 = 50  Ω
L = XL2π f = 502π × 400 ≈ 0.0199 H
XL = 50  Ω ; L ≈ 19.9 mH
סעיף ג — המתח על הקבל והיגב הקבל

ממשולש המתחים של מעגל טורי מתקיים כי ריבוע מתח המקור שווה לריבוע המתח על הנגד ועוד ריבוע הפרש המתחים ההיגביים:

U2 = UR2 + (UL - UC)2
102 = 62 + (15 - UC)2  →  (15 - UC)2 = 64  →  15 - UC = ± 8

מכיוון שנתון כי המעגל בעל אופי השראותי, המתח על הסליל גדול מהמתח על הקבל, ולכן בוחרים בפתרון החיובי:

UC = 15 - 8 = 7 V
XC = UCI = 70.3 ≈ 23.33  Ω
UC = 7 V ; XC ≈ 23.33  Ω
שאלה 6 — רשת תלת-מופעית עם שני עומסים סימטריים
נתונים: UL = 400V · f = 50Hz · עומס A כוכב R = 5 Ω · עומס B משולש XL = 9 Ω
סעיף א — חישוב הזרמים

בעומס A (כוכב) המתח על כל נגד הוא המתח המופעי, וזרם הקו שווה לזרם המופע:

Uₚₕ = UL√3 = 400√3 ≈ 230.9 V
I₁ = UₚₕR = 230.95 ≈ 46.19 A

בעומס B (משולש) שורר על כל סליל המתח הקווי, וזרם הקו גדול פי שורש שלוש מזרם המופע:

Iₚₕ = ULXL = 4009 ≈ 44.44 A
I₂ = √3 · Iₚₕ = √3 × 44.44 ≈ 76.98 A

זרם העומס ההתנגדותי במופע עם המתח, וזרם העומס ההשראותי מפגר אחריו ב-90°, ולכן מחברים אותם וקטורית:

I = √I₁2 + I₂2 = √46.192 + 76.982 ≈ 89.77 A
I₁ ≈ 46.19 A ; I₂ ≈ 76.98 A ; I ≈ 89.77 A
סעיף ב — ההספק הממשי, ההיגבי והמדומה

עומס A צורך הספק ממשי בלבד ועומס B צורך הספק היגבי בלבד:

P = √3 · UL · I₁ = √3 × 400 × 46.19 ≈ 32000 W
Q = √3 · UL · I₂ = √3 × 400 × 76.98 ≈ 53333 var
S = √P2 + Q2 = √322 + 53.332 ≈ 62.2 kVA

בדיקה: S = √3 · UL · I = √3 × 400 × 89.77 ≈ 62.2 kVA — מתקבלת אותה תוצאה.

P = 32 kW ; Q ≈ 53.33 kvar ; S ≈ 62.2 kVA
סעיף ג — משולש ההספקים של המקור

משולש ההספקים הוא משולש ישר-זווית: הניצב האופקי מייצג את ההספק הממשי, הניצב האנכי את ההספק ההשראותי, והיתר את ההספק המדומה. הזווית שבין P ל-S היא זווית המופע:

tan φ = QP = 53.3332 ≈ 1.667  →  φ ≈ 59°
cos φ = PS = 3262.2 ≈ 0.514
φ ≈ 59° ; cos φ ≈ 0.514
שאלה 7 — מעגל מקבילי בעל אופי קיבולי
נתונים: U = 30V · f = 50Hz · R = 300 Ω · XL = 200 Ω · A₂ מורה 0.1A · אופי קיבולי
💡
המקור: מתח המקור נתון כ-u(t) = 30√2 sin(ω t) וולט, כלומר ערך יעיל של 30V. שלושה ענפים במקביל: נגד, קבל וסליל. מד-הזרם A₂ מודד את הזרם המשותף של ענפי הקבל והסליל, ומד-הזרם A₁ מודד את זרם המקור.
סעיף א — הזרם היעיל דרך הנגד R
IR = UR = 30300 = 0.1 A
IR = 0.1 A
סעיף ב — הזרם דרך מד-הזרם A₁

זרם הקבל מקדים את המתח ב-90° וזרם הסליל מפגר ב-90°, ולכן הזרם דרך A₂ הוא ההפרש בין שני הזרמים ההיגביים, כלומר 0.1 A. זרם המקור הוא הסכום הווקטורי של זרם הנגד והזרם ההיגבי:

IA1 = √IR2 + (IC - IL)2 = √0.12 + 0.12 ≈ 0.1414 A
IA1 ≈ 0.14 A
סעיף ג — ערכו של היגב הקבל X_C

תחילה זרם הסליל, ומכיוון שהמעגל בעל אופי קיבולי זרם הקבל גדול מזרם הסליל:

IL = UXL = 30200 = 0.15 A
IC - IL = 0.1  →  IC = 0.15 + 0.1 = 0.25 A
XC = UIC = 300.25 = 120  Ω
XC = 120  Ω
סעיף ד — הספקי המעגל ומשולש ההספקים
P = U · IR = 30 × 0.1 = 3 W
Q = U · (IC - IL) = 30 × 0.1 = 3 var
S = √P2 + Q2 = √32 + 32 ≈ 4.24 VA

במשולש ההספקים הניצב האנכי Q פונה כלפי מטה מפני שההספק ההיגבי קיבולי. מכיוון ש-P שווה ל-Q, הזווית ביניהם היא 45°, ולכן מקדם ההספק הוא 0.707.

P = 3 W ; Q = 3 var ; S ≈ 4.24 VA
שאלה 8 — מעגל RLC טורי בתהודה
נתונים: R = 50 Ω · U = 20V · BW = 2 kHz · fr = 40 kHz · מצב תהודה
סעיף א — עוצמת הזרם הזורם במעגל

בתהודה טורית ההיגבים מתבטלים זה בזה והעכבה שווה להתנגדות בלבד:

I = UR = 2050 = 0.4 A
I = 0.4 A
סעיף ב — גורם הטיב של המעגל

גורם הטיב שווה ליחס בין תדר התהודה לרוחב הפס:

Q = frBW = 402 = 20
Q = 20
סעיף ג — השראות הסליל L וקיבול הקבל C

מגורם הטיב מתקבל היגב הסליל בתהודה, וממנו ההשראות:

XL = Q · R = 20 × 50 = 1000  Ω
L = XL2π fr = 10002π × 40000 ≈ 3.98 mH

בתהודה היגב הקבל שווה להיגב הסליל, ומכאן הקיבול:

C = 12π fr · XC = 12π × 40000 × 1000 ≈ 3.98 nF
L ≈ 3.98 mH ; C ≈ 3.98 nF
סעיף ד — המתח על הסליל במצב תהודה

בתהודה טורית המתח על הסליל גדול פי גורם הטיב ממתח המקור:

UL = Q · U = 20 × 20 = 400 V

לחלופין: UL = I · XL = 0.4 × 1000 = 400 V.

UL = 400 V
סעיף ה — הכפלת גורם הטיב ללא שינוי תדר התהודה

גורם הטיב של מעגל טורי הוא Q = XLR, ואילו תדר התהודה תלוי רק ב-L וב-C. לכן כדי להכפיל את גורם הטיב יש להקטין את ההתנגדות פי שניים:

R' = R2 = 502 = 25  Ω  →  Q' = 100025 = 40

הקטנת R אינה משפיעה על תדר התהודה, ולכן הוא נשאר 40 kHz וגורם הטיב מוכפל.

R' = 25  Ω ; Q' = 40
📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות
שאלה 9 — מערכת שערים לוגיים
נתונים: שלושה קווי כניסה A, B, C · שני שערי AND ושער NOR
💡
מבנה המערכת: שער AND עליון מקבל את A דרך מהפך ואת C דרך מהפך; שער AND תחתון מקבל את B ואת C ישירות; מוצאי שני שערי ה-AND נכנסים לשער NOR שמוצאו F.
סעיף א — הביטוי במוצא המערכת F

מוצאי שני שערי ה-AND והמוצא הסופי של שער ה-NOR:

FAND1 = A · C
FAND2 = B · C
F = A · C + B · C

פיתוח הביטוי בעזרת משפט דה-מורגן לצורה של סכום מכפלות:

F = (A · C) · (B · C) = (A + C) · (B + C)
F = A · B + A · C + B · C
F = A · B + A · C + B · C
סעיף ב — טבלת האמת של המערכת
ABCF
0000
0011
0100
0110
1001
1011
1101
1110
סעיף ג — שערים בודדים

שער XOR עם כניסות A ו-B, כאשר הכניסה B ברמה לוגית 1 — לפי הגדרת השער, כאשר כניסה אחת קבועה ברמה 1 המוצא שווה להיפוך של הכניסה השנייה:

F₁ = A ⊕ 1 = A

שער NOR עם כניסות A ו-B, כאשר הכניסה B ברמה לוגית 0 — האיבר הניטרלי של פעולת OR הוא 0, ולכן במוצא מתקבל היפוך של הכניסה A:

F₂ = (A + 0) = A
F₁ = A ; F₂ = A
שאלה 10 — מפת קרנו ומימוש ברכיבים משולבים
נתונים: מפת קרנו של פונקציה F התלויה במשתנים A, B, C

מפת קרנו של הפונקציה — שורות לפי C, עמודות לפי AB בסדר קוד גרֵיי:

C \ AB00011110
01001
10011
סעיף א — פישוט הפונקציה F למינימום משתנים

במפה שתי קבוצות של שני תאים סמוכים. הקבוצה הראשונה — שני התאים בשורה C=0 בעמודות AB=00 ו-AB=10 (עמודות קיצוניות סמוכות במפה), שבה B=0 ו-C=0 קבועים. הקבוצה השנייה — שני התאים בשורה C=1 בעמודות AB=11 ו-AB=10, שבה A=1 ו-C=1 קבועים:

F = B · C + A · C
F = B · C + A · C
סעיף ב — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים

למימוש דרושים שני מהפכים ליצירת B ו-C, שני שערי AND בעלי שתי כניסות, ושער OR אחד בעל שתי כניסות. הכניסה B מחוברת למהפך שמוצאו B, והכניסה C מחוברת למהפך שמוצאו C; מוצאי שני המהפכים מחוברים לשער AND הראשון. הכניסות A ו-C מחוברות ישירות לשער AND השני. שני מוצאי שערי ה-AND מחוברים לשער OR שמוצאו F.

סעיף ג — הביטוי במוצא F של מערך הרכיבים המשולבים

מעקב אחר החיווט של שלושת הרכיבים. ברכיב 7404 (מהפכים): הכניסה A מחוברת להדק 1 ולכן בהדק 2 מתקבל A; הכניסה C מחוברת להדק 3 ולכן בהדק 4 מתקבל C; הכניסה B מחוברת להדק 5 ולכן בהדק 6 מתקבל B. ברכיב 7408 (שערי AND): להדקי 1 ו-2 מגיעים A ו-B, ולכן בהדק 3 מתקבלת המכפלה A · B; להדקי 4 ו-5 מגיעים B ו-C, ולכן בהדק 6 מתקבלת המכפלה B · C. ברכיב 7432 (שער OR): שני המוצאים מגיעים להדקים 1 ו-2, והמוצא F נלקח מהדק 3:

F = A · B + B · C
F = A · B + B · C
🏠