הצעה לפתרון מלא — חשמל 845381

הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל

בגרות · קיץ תשע״ז 2017 · שאלון 845381 · שאלות 1–10

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

💡

על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, בגרות קיץ תשע״ז 2017. במבחן המקורי נדרש הנבחן לענות על שתי שאלות מהפרק הראשון, שתי שאלות מהפרק השני ושאלה אחת מהפרק השלישי; במסמך זה נפתרו כל עשר השאלות במלואן. השאלון בנוי משלושה פרקים: תורת החשמל (שאלות 1–4), זרם חילופין (שאלות 5–8) ומערכות ספרתיות (שאלות 9–10).

שאלה 1 — משפט תבנין

נתונים: E = 80V · R₁ = R₂ = R₃ = 12kΩ · R_L מחובר בין A ל-B

💡

מבנה המעגל: הנגד R₁ מחובר בין המקור לצומת A, והנגדים R₂ ו-R₃ מחוברים בטור זה לזה ויוצרים ענף שני בין הצומת A להדק B. נגד העומס R_L מחובר בין ההדקים A ו-B.

סעיף א — מעגל תבנין שקול עבור R_L

לפי משפט תבנין, כל רשת ליניארית הנראית משני הדקים ניתנת להחלפה במקור מתח שקול אחד בטור עם נגד שקול אחד. מעגל התבנין השקול הוא מקור מתח U_{th} בטור עם התנגדות פנימית R_{th}, וההדקים A–B שאליהם מתחבר נגד העומס R_L.

סעיף ב — התנגדות תבנין R_th

מנתקים את R_L, מקצרים את מקור המתח E ומחשבים את ההתנגדות הנראית מההדקים A–B. במצב זה R₁ מקביל לצירוף הטורי R₂ + R₃:

Rₜₕ = R₁ · (R₂ + R₃)R₁ + R₂ + R₃ = 12000 × 2400036000 = 8000 Ω

Rₜₕ = 8 kΩ

סעיף ג — מתח תבנין U_th

מנתקים את R_L ומחשבים את המתח בין A ל-B בריקם. המתח על ההדקים הוא המתח על הצירוף הטורי R₂ + R₃ לפי כלל מחלק המתח:

Uₜₕ = E · R₂ + R₃R₁ + R₂ + R₃ = 80 × 2400036000 = 53.33 V

Uₜₕ ≈ 53.33 V

סעיף ד — הזרם דרך R_L כאשר R_L = 5 kΩ

מחברים את R_L להדקי מעגל התבנין השקול ומחשבים את הזרם בחוג:

I_L = UₜₕRₜₕ + R_L = 53.338000 + 5000 = 53.3313000 = 0.0041 A

I_L ≈ 4.1 mA

שאלה 2 — מעגל זרם ישר עם מפסקים

נתונים: E = 40V · R₁ = 5 Ω · R₂ = 50 Ω · R₃ = 12.5 Ω · R₄ = 37.5 Ω · R₅ = 10 Ω · R₆ = 40 Ω · R₇ = 25 Ω

💡

מבנה המעגל: בין הצמתים B ו-C שני ענפים מקבילים — R₅ + R₆ בטור וכן R₃ + R₄ בטור. הנגד R₂ מחובר בין A ל-B, הנגד R₇ מחובר דרך המפסק S₁ בין A ל-C, והמפסק S₂ נמצא בין R₁ לצומת A. הצומת C מוארק ומחובר להדק השני של המקור.

סעיף א — המפסקים S₁ ו-S₂ פתוחים

ההתנגדות בין B ל-C היא צירוף מקבילי של שני הענפים הטוריים:

R_BC = (R₅ + R₆) · (R₃ + R₄)(R₅ + R₆) + (R₃ + R₄) = 50 × 50100 = 25 Ω

ההתנגדות בין A ל-C היא R₂ בטור עם הצירוף שבין B ל-C, שכן ענף R₇ מנותק כאשר S₁ פתוח:

R_AC = R₂ + R_BC = 50 + 25 = 75 Ω

R_BC = 25 Ω ; R_AC = 75 Ω

סעיף ב — ההתנגדות שרואה המקור כאשר S₁ ו-S₂ סגורים

כאשר שני המפסקים סגורים, בין A ל-C מחוברים במקביל הענף R₂ + R_{BC} = 75 Ω והנגד R₇ = 25 Ω, וכל זה בטור עם R₁:

R_AC = 75 × 2575 + 25 = 18.75 Ω

R_eq = R₁ + 18.75 = 5 + 18.75 = 23.75 Ω

R_eq = 23.75 Ω

סעיף ג — הפוטנציאל בנקודה A

מחשבים את הזרם הכללי שמספק המקור, ומפחיתים ממתח המקור את מפל המתח על R₁. הפוטנציאל נמדד ביחס לצומת C המוארק:

I = ER_eq = 4023.75 = 1.684 A

V_A = E - I · R₁ = 40 - 1.684 × 5 = 31.58 V

V_A ≈ 31.6 V

סעיף ד — ההספק בנגד R₁

P(R₁) = I² · R₁ = 1.684² × 5 = 14.18 W

P(R₁) ≈ 14.2 W

שאלה 3 — מעגל קבלים

נתונים: 6 קבלים זהים · ε_r = 5 · A = 0.5 m² · d = 1cm = 0.01m

💡

מבנה המעגל: בצד שמאל שני קבלים בטור המחוברים ישירות על המקור. בצד ימין ענף טורי — קבל עליון שעליו מחובר וולטמטר, ובטור אליו צירוף מקבילי של שני קבלים בטור יחד עם קבל בודד.

סעיף א — הקיבול של כל קבל

C = ε₀ · ε_r · Ad = 8.85 × 10^-12 × 5 × 0.50.01 = 2.21 × 10^-9 F

C ≈ 2.21 nF

סעיף ב — הקיבול השקול של המעגל

בענף השמאלי שני קבלים זהים בטור. בענף הימני שני הקבלים הטוריים נותנים C/2, ובמקביל אליהם קבל בודד C, והצירוף מחובר בטור לקבל העליון:

C₁ = C2 = 0.5C

C₂ = C2 + C = 1.5C

C₃ = C × 1.5CC + 1.5C = 1.5C²2.5C = 0.6C

C_eq = 0.5C + 0.6C = 1.1C = 1.1 × 2.21 = 2.43 nF

C_eq ≈ 2.43 nF

סעיף ג — מתח המקור E כאשר הוולטמטר מראה 30V

הוולטמטר מודד את המתח על הקבל העליון בענף הימני. בענף טורי המטען זהה בשני חלקי הענף:

Q = C × 30 = 30C

U₂ = Q1.5C = 30C1.5C = 20 V

E = 30 + 20 = 50 V

E = 50 V

שאלה 4 — רשת תלת-מופעית

נתונים: U(קווי) = 400V · f = 50Hz · מנוע P = 15kW, cos φ = 0.8 השראותי · גוף חימום R = 35 Ω בכוכב · קבלים C = 40µF במשולש

סעיף א — הזרמים I₁ ו-I₂

זרם המנוע נקבע מהספקו כעומס תלת-מופעי:

I₁ = P√3 · U(קווי) · cos φ = 150001.732 × 400 × 0.8 = 27.06 A

גוף החימום מחובר בכוכב, ולכן על כל נגד שורר המתח המופעי, וזרם הקו שווה לזרם המופעי:

U(מופעי) = U(קווי)√3 = 4001.732 = 230.9 V

I₂ = U(מופעי)R = 230.935 = 6.6 A

I₁ ≈ 27.1 A ; I₂ ≈ 6.6 A

סעיף ב — קריאת האמפרמטרים A₁ ו-A₂

הקבלים מחוברים במשולש, ולכן על כל קבל שורר המתח הקווי, והאמפרמטרים מודדים זרם קו:

X_C = 12π f C = 12π × 50 × 40 × 10^-6 = 79.58 Ω

I(מופעי) = U(קווי)X_C = 40079.58 = 5.03 A

I(קווי) = √3 · I(מופעי) = 1.732 × 5.03 = 8.71 A

A₁ = A₂ ≈ 8.7 A

סעיף ג — הזרם I₄ בקו ההזנה

מחברים את ההספקים של כל העומסים. תחילה ההספק הפעיל הכולל:

P(חימום) = 3 · U(מופעי)²R = 3 × 230.9²35 = 4571 W

P = 15000 + 4571 = 19571 W

המנוע צורך הספק היגבי השראותי, הקבלים מספקים הספק היגבי קיבולי, וגוף החימום אינו צורך הספק היגבי:

Q(מנוע) = P · tg φ = 15000 × 0.75 = 11250 var

Q(קבלים) = 3 · U(קווי)²X_C = 3 × 400²79.58 = 6032 var

Q = 11250 - 6032 = 5218 var

ההספק המדומה והזרם בקו ההזנה:

S = √P² + Q² = √19571² + 5218² = 20255 VA

I₄ = S√3 · U(קווי) = 202551.732 × 400 = 29.24 A

I₄ ≈ 29.2 A

סעיף ד — מקדם ההספק וההספקים של הרשת

cos φ = PS = 1957120255 = 0.966

cos φ ≈ 0.97 (השראותי) ; P ≈ 19.57 kW ; Q ≈ 5.22 kvar (השראותי) ; S ≈ 20.26 kVA

🔌 פרק שני — זרם חילופין

שאלה 5 — מעגל RLC טורי בזרם חילופין

נתונים: U_R = 3V · U_L = 12V · U_C = 8V · I = 2A · f = 50Hz

סעיף א — מתח המקור U

במעגל טורי המתח על המשרן מקדים את הזרם ב-90° והמתח על הקבל מפגר אחריו ב-90°, ולכן הם מחוסרים זה מזה, וההפרש מחובר וקטורית למתח על הנגד:

U = √U_R² + (U_L - U_C)² = √3² + (12 - 8)² = √25 = 5 V

U = 5 V

סעיף ב — התנגדות הנגד, השראות המשרן וקיבול הקבל

R = U_RI = 32 = 1.5 Ω

X_L = U_LI = 122 = 6 Ω → L = X_L2π f = 6314.16 = 0.0191 H

X_C = U_CI = 82 = 4 Ω → C = 12π f X_C = 1314.16 × 4 = 7.96 × 10^-4 F

R = 1.5 Ω ; L ≈ 19.1 mH ; C ≈ 796 µF

סעיף ג — דיאגרמה פאזורית של המתחים

מסרטטים את פאזור הזרם I כציר הייחוס האופקי. המתח U_R בפאזה עם הזרם, המתח U_L מקדים אותו ב-90° כלפי מעלה, והמתח U_C מפגר אחריו ב-90° כלפי מטה. ההפרש U_L − U_C מצביע כלפי מעלה, ומתח המקור הוא היתר של משולש שניצביו 3V ו-4V:

φ = arctan(U_L - U_CU_R) = arctan(43) = 53.13°

המעגל השראותי — הזרם מפגר אחרי מתח המקור בזווית של כ-53°.

φ = 53.13° (המעגל השראותי)

סעיף ד — הספקים ומשולש ההספקים

ההספק בכל אחד ממרכיבי המעגל:

P(R) = U_R · I = 3 × 2 = 6 W

Q(L) = U_L · I = 12 × 2 = 24 var

Q(C) = U_C · I = 8 × 2 = 16 var

הניצב האופקי במשולש ההספקים הוא ההספק הפעיל, הניצב האנכי הוא ההספק ההיגבי השקול, והיתר הוא ההספק המדומה:

Q = Q(L) - Q(C) = 24 - 16 = 8 var

S = U · I = 5 × 2 = 10 VA

S = √6² + 8² = 10 VA ✓

P = 6 W ; Q = 8 var ; S = 10 VA

שאלה 6 — מעגל RLC טורי בתהודה

נתונים: BW = 1kHz · Q₀ = 10 · U = 250V · L = 500mH = 0.5H

סעיף א — התדירות הזוויתית בתהודה

f₀ = BW · Q₀ = 1000 × 10 = 10000 Hz

ω₀ = 2π f₀ = 2π × 10000 = 62832 rad/s

f₀ = 10 kHz ; ω₀ ≈ 62832 rad/s

סעיף ב — המתחים U_L ו-U_C

בתהודה טורית המתח על המשרן ועל הקבל גדול פי גורם הטיב ממתח המקור:

U_L = U_C = Q₀ · U = 10 × 250 = 2500 V

U_L = U_C = 2500 V

סעיף ג — התנגדות הנגד R וקיבול הקבל C

מנוסחת גורם הטיב של מעגל טורי, ומתנאי התהודה:

R = ω₀ · LQ₀ = 62832 × 0.510 = 3141.6 Ω

C = 1ω₀² · L = 162832² × 0.5 = 5.07 × 10^-10 F

R ≈ 3142 Ω ≈ 3.14 kΩ ; C ≈ 0.507 nF

סעיף ד — הזרם הזורם במעגל

בתהודה ההיגבים X_L ו-X_C מבטלים זה את זה, והעכבה שווה להתנגדות בלבד:

I = UR = 2503141.6 = 0.0796 A

I ≈ 79.6 mA

שאלה 7 — מעגל על מטריצה וזיהוי נגדים לפי קוד צבעים

נתונים: ספק כפול · E₁ = 40V · E₂ = 30V · חמישה נגדים מזוהים בקוד צבעים

⚠️

קריאת הנתונים מהאיור: ערכי הנגדים זוהו לפי פסי הצבע, כשהפס הרביעי זהב מציין דיוק ±5%, ומתחי הספקים נקראו מצגי ספק הכוח הכפול — 40V ליחידה השמאלית ו-30V ליחידה הימנית.

זיהוי הנגדים לפי פסי הצבע:

הנגד	פסי הצבע	חישוב	ערך
R₁	כחול, אפור, חום, זהב	68 × 10	680 Ω
R₂	אדום, אדום, אדום, זהב	22 × 100	2.2 kΩ
R₃	אפור, אדום, חום, זהב	82 × 10	820 Ω
R₄	ירוק, חום, אדום, זהב	51 × 100	5.1 kΩ
R₅	חום, שחור, אדום, זהב	10 × 100	1 kΩ

סעיף א.1 — סרטוט המעגל החשמלי

מעקב אחר החיווט על המטריצה מראה מעגל בעל שני חוגים עם ענף משותף. ההדק החיובי של E₁ מחובר דרך R₁ לצומת A וההדק השלילי דרך R₂ לצומת B; ההדק החיובי של E₂ מחובר דרך R₄ לצומת B וההדק השלילי דרך R₃ לצומת A; והנגד R₅ מחובר בענף המשותף בין הצמתים A ו-B.

סעיף א.2 — ההספק בנגד R₄

נסמן U = V(A) − V(B) את המתח בין הצמתים, ונרשום משוואת זרמים לצומת A — הזרם הנכנס מענף E₁ שווה לסכום הזרמים היוצאים דרך R₅ ודרך הענף של E₂:

E₁ - UR₁ + R₂ = UR₅ + U + E₂R₃ + R₄

40 - U2880 = U1000 + U + 305920 → U = 5.82 V

הזרם בענף של E₂ זורם דרך R₃ ודרך R₄:

I(R₄) = U + E₂R₃ + R₄ = 5.82 + 305920 = 0.00605 A = 6.05 mA

נוודא את משוואת הצומת:

I(R₁) = 40 - 5.822880 = 11.87 mA ; I(R₅) = 5.821000 = 5.82 mA

11.87 ≈ 6.05 + 5.82 ✓

P(R₄) = I² · R₄ = 0.00605² × 5100 = 0.187 W

P(R₄) ≈ 0.19 W = 187 mW

סעיף ב — מנתקים את הנגד R₅ שבענף AB

לאחר ניתוק R₅ נותר חוג טורי יחיד שבו שני המקורות פועלים באותו כיוון ומסייעים זה לזה, וכל ארבעת הנגדים מחוברים בטור. הזרם דרך R₁ לפי חוק המתחים של קירכהוף בחוג יחיד:

I = E₁ + E₂R₁ + R₂ + R₃ + R₄ = 40 + 30680 + 2200 + 820 + 5100 = 708800 = 0.00795 A

I ≈ 7.95 mA ≈ 8 mA

שאלה 8 — מעגל מגנטי עם חריץ אוויר

נתונים: l_g = 1.5mm · l = 228mm · l(fe) = 226.5mm · µ_r = 1600 · חתך ריבועי צלע 8mm · A = 64mm² · N = 600 · I = 2A

סעיף א.1 — המיאון המגנטי של חריץ האוויר

Rₘ(g) = l_gµ₀ · A = 0.00154π × 10^-7 × 64 × 10^-6 = 1.865 × 10⁷ AT/Wb

Rₘ(g) ≈ 1.87 × 10⁷ AT/Wb

סעיף א.2 — המיאון המגנטי של ליבת המעגל (כולל החריץ)

Rₘ(fe) = l(fe)µ₀ · µ_r · A = 0.22654π × 10^-7 × 1600 × 64 × 10^-6 = 1.76 × 10⁶ AT/Wb

Rₘ = Rₘ(fe) + Rₘ(g) = 1.76 × 10⁶ + 1.865 × 10⁷ = 2.04 × 10⁷ AT/Wb

Rₘ ≈ 2.04 × 10⁷ AT/Wb

💡

הסבר: שני חלקי המסלול המגנטי מחוברים בטור ולכן המיאונים מתחברים. אף שחריץ האוויר קצר מאוד, המיאון שלו גדול פי עשרה בקירוב מזה של הברזל, בגלל החדירות הנמוכה של האוויר.

סעיף ב — השטף המגנטי בליבת המעגל

על הליבה סליל בעל N = 600 כריכות שבו זורם זרם I = 2 A:

N · I = 600 × 2 = 1200 AT

Φ = N · IRₘ = 12002.04 × 10⁷ = 5.88 × 10^-5 Wb

Φ ≈ 58.8 µWb

סעיף ג — השדה המגנטי של המעגל

B = ΦA = 5.88 × 10^-564 × 10^-6 = 0.92 T

B ≈ 0.92 T

📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות

שאלה 9 — פישוט ומימוש פונקציה בינארית

נתונים: פונקציה F של שלושה משתנים A, B, C נתונה כביטוי משלים

סעיף א.1 — פישוט הפונקציה למינימום ליטרלים

הפונקציה הנתונה, כשקו עליון מסמן היפוך:

F(A,B,C) = A + A · C · B + B · C + B

לפי כלל הבליעה, הסכום B · C + B שווה ל-B, ולכן בתוך הסוגריים נותר:

A + B + A · B · C

לפי הכלל X + X · Y = X + Y כאשר X = A + B, האיבר A · B · C הוא בדיוק A + B · C:

A + B + A · B · C = A + B + C

לבסוף, לפי כלל דה-מורגן:

F = A + B + C = A · B · C

F = A · B · C (3 ליטרלים)

סעיף א.2 — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים

נדרשים שלושה מהפכים (רכיב 7404) ושני שערי וגם (רכיב 7408): שלושת המהפכים נותנים את המשלימים של A, B ו-C; שער הוגם הראשון מקבל את המשלימים של A ו-B; ושער הוגם השני מקבל את מוצא הראשון ואת המשלים של C, ובמוצאו מתקבלת הפונקציה.

סעיף ב — קריאת מערך השערים המשולב ורישום הביטוי במוצא

הכניסות A ו-B מחוברות לשער או (7432), מוצאו נכנס לשער וגם (7408) יחד עם הכניסה C, ומוצא שער הוגם נכנס למהפך (7404) שמוצאו הוא F. השתלשלות האותות:

A + B

(A + B) · C

F = (A + B) · C

באמצעות כלל דה-מורגן אפשר לרשום את המוצא גם בצורה:

F = A + B + C = A · B + C

F = (A + B) · C = A · B + C

שאלה 10 — פונקציה הנתונה במפת קרנו

נתונים: F(X,Y,Z) = 1 בתאים 0, 4, 6, 3 · מצב חופשי Φ בתא 7 · אחרת 0

סעיף א — פישוט הפונקציה למינימום ליטרלים

מבצעים קיבוצים במפה, כשהמצב החופשי בתא 7 מנוצל כ-1. קיבוץ התאים 0 ו-4 (סמיכות גלילית) מבטל את X ונותן Y · Z; קיבוץ התאים 4 ו-6 מבטל את Y ונותן X · Z; קיבוץ התאים 3 ו-7 מבטל את X ונותן Y · Z:

F = Y · Z + X · Z + Y · Z

סעיף ב — ערך הפונקציה כאשר X = Y וגם Z = 1

מציבים Z = 1 בפונקציה המפושטת. האיברים Y · Z ו-X · Z מתאפסים ונותר:

F = Y · Z = Y · 1 = Y

מכיוון ש-X = Y, ערך הפונקציה שווה לערך המשותף של הכניסות: אם X = Y = 0 מתקבל F = 0, ואם X = Y = 1 מתקבל F = 1 (תא 7 — המצב החופשי שמומש כ-1).

F = X = Y

סעיף ג — מימוש הפונקציה המפושטת על גבי המערך שבנספח

נדרשים שני מהפכים (7404), שלושה שערי וגם (7408) ושני שערי או (7432). המהפכים נותנים את המשלימים של Y ושל Z; שער הוגם הראשון נותן Y · Z, השני נותן X · Z, והשלישי נותן Y · Z; שער האו הראשון מאחד את שני האיברים הראשונים, ושער האו השני מוסיף את האיבר השלישי ומפיק את הפונקציה. בכל רכיב מחוברת רגל 14 ל-VCC ורגל 7 ל-GND.