הצעה לפתרון מלא — חשמל 845381

הצעה לפתרון מלא — מערכות חשמל

בגרות · קיץ תשע"ו 2016 · שאלון 845381 · שאלות 1–10

✦ בנוי על ידי פהד גאנם ✦

💡

על המסמך: הצעה לפתרון מלא לשאלון 845381 — מערכות חשמל, קיץ תשע"ו 2016. בשאלון עשר שאלות בשלושה פרקים: שאלות 1–4 במעגלי זרם ישר וקבלים, שאלות 5–8 בזרם חילופין וברשתות תלת-מופעיות, ושאלות 9–10 במערכות ספרתיות.

שאלה 1 — מעגל זרם ישר

נתונים: E = 80V · R₁ = 4 Ω · R₂ = 16 Ω · R₃ = 18 Ω · R₄ = 4.2 Ω · R₅ = 3.8 Ω · R₆ = 8 Ω

💡

מבנה המעגל: המקור בטור עם R₁. בין A ל-B מחוברים R₂ ו-R₃ במקביל. בין B ל-C מחובר R₆ במקביל לצירוף הטורי של R₄ ו-R₅. הנקודה C מוארקת.

סעיף א — ההתנגדות השקולה של המעגל

הנגדים R₂ ו-R₃ מקבילים בין A ל-B. הנגדים R₄ ו-R₅ בטור, וצירופם מקביל ל-R₆ בין B ל-C. כל הצירופים בטור עם R₁ ועם המקור:

R₂₃ = R₂ · R₃R₂ + R₃ = 16 × 1816 + 18 = 28834 = 8.47 Ω

R₄₅ = R₄ + R₅ = 4.2 + 3.8 = 8 Ω

R_BC = R₄₅ · R₆R₄₅ + R₆ = 8 × 816 = 4 Ω

R_T = R₁ + R₂₃ + R_BC = 4 + 8.47 + 4 = 16.47 Ω

R_T ≈ 16.47 Ω

סעיף ב — הזרם דרך הנגד R₁

הנגד R₁ נמצא בענף המקור, ולכן זורם דרכו הזרם הכללי של המעגל לפי חוק אוהם:

I₁ = ER_T = 8016.47

I₁ ≈ 4.86 A

סעיף ג — ההספק בנגד R₆

נחשב תחילה את המתח על הצירוף המקבילי בין B ל-C, ומתוכו את ההספק בנגד R₆:

U_BC = I₁ · R_BC = 4.86 × 4 = 19.43 V

P₆ = U_BC²R₆ = 19.43²8

P₆ ≈ 47.2 W

סעיף ד — חיבור מכשיר מדידה לזרם דרך R₁

כדי למדוד את הזרם דרך R₁ יש לחבר אמפרמטר בטור בענף שבו נמצא הנגד, כלומר לפתוח את הענף שבין המקור ל-R₁ (או בין R₁ לנקודה A) ולהכניס במקומו את האמפרמטר, כך שכל זרם הענף יעבור דרכו. סימולו במעגל הוא עיגול שבתוכו האות A, המחובר בטור. התנגדותו הפנימית קטנה מאוד ולכן אינה משפיעה על הזרם הנמדד.

שאלה 2 — מעגל עם שני מקורות ואמפרמטר

נתונים: U₁ = 8.2V · U₂ = 4.1V · R₁ = 7 Ω · R₃ = 3 Ω · I₃ = 1.1A

💡

מבנה המעגל: המקור U₁ בין A ל-B. הנגד R₁ בין A ל-C. הנגד R₃ בטור עם אמפרמטר אידאלי בין C ל-B. הנגד R₂ בין C ל-D, והמקור U₂ בין D ל-B.

סעיף א — המתח על הנגד R₃

האמפרמטר אידאלי (התנגדותו אפס), ולכן כל מתח הענף האמצעי נופל על R₃:

U₃ = I₃ · R₃ = 1.1 × 3

U₃ = 3.3 V (זהו גם פוטנציאל הנקודה C ביחס ל-B)

סעיף ב — ההתנגדות של הנגד R₂

נחשב תחילה את הזרם דרך R₁ מחוק המתחים בחוג השמאלי, ואז את הזרם דרך R₂ מחוק הזרמים בצומת C:

I₁ = U₁ - U₃R₁ = 8.2 - 3.37 = 4.97 = 0.7 A

I₂ = I₃ - I₁ = 1.1 - 0.7 = 0.4 A

הזרם I₂ זורם מ-D אל C דרך R₂. המתח על R₂ הוא ההפרש בין פוטנציאל D (מתח המקור U₂) לפוטנציאל C:

R₂ = U₂ - U₃I₂ = 4.1 - 3.30.4 = 0.80.4

R₂ = 2 Ω

סעיף ג1 — קריאת וולטמטר בין הנקודות A ו-D

הנקודה A מחוברת ישירות להדק החיובי של U₁, והנקודה D להדק החיובי של U₂ (שני המקורות משותפים לנקודה B):

U_AD = V_A - V_D = U₁ - U₂ = 8.2 - 4.1

U_AD = 4.1 V

סעיף ג2 — שינוי R₁ ל-10 אום

קריאת הוולטמטר לא תשתנה. פוטנציאלי הנקודות A ו-D נקבעים ישירות על-ידי המקורות U₁ ו-U₂ (הנקודות יושבות על הדקי המקורות עצמם) ואינם תלויים בערכי הנגדים שבמעגל. הוולטמטר אידאלי ואינו צורך זרם, ולכן שינוי R₁ מ-7 אום ל-10 אום משנה את הזרמים בענפים אך אינו משנה את הפרש הפוטנציאלים בין A ל-D:

U_AD = 8.2 - 4.1 = 4.1 V

U_AD = 4.1 V — ללא שינוי

שאלה 3 — מעגל עם שני מקורות ומפסק

נתונים: U₁ = 120V · R₁ = 20 Ω · U₂ = 60V · R₂ = 5 Ω · R₃ = 6 Ω · R₄ = 8 Ω

💡

מבנה המעגל: ענף שמאלי — U₁ בטור עם R₁ בין הפס התחתון ל-A. ענף אמצעי — U₂ בטור עם R₂ בין A ל-B. ענף ימני — מפסק S בטור עם R₃ ו-R₄ בין A ל-B. הנקודה B מוארקת.

סעיף א — הזרם דרך R₂ כאשר המפסק S פתוח

כאשר המפסק פתוח אין זרם בענף הימני, ונוצר חוג יחיד שבו שני המקורות פועלים זה כנגד זה:

I = U₁ - U₂R₁ + R₂ = 120 - 6020 + 5 = 6025

I = I₂ = 2.4 A

סעיף ב — הפרש הפוטנציאלים בין A ל-B (המפסק פתוח)

נחשב את פוטנציאל A דרך הענף השמאלי:

U_AB = U₁ - I · R₁ = 120 - 2.4 × 20 = 120 - 48 = 72 V

נוודא דרך הענף האמצעי:

U_AB = U₂ + I · R₂ = 60 + 2.4 × 5 = 72 V ✓

U_AB = 72 V

סעיף ג — משוואות זרמי החוגים כאשר המפסק S סגור

נגדיר: I₁ — הזרם בענף השמאלי (מ-U₁ אל A); I₂ — הזרם בענף האמצעי (מ-A אל B); I₃ — הזרם בענף הימני (מ-A דרך R₃ ו-R₄ אל B). מתקבלות שלוש משוואות — חוק הזרמים בצומת A ושני חוקי המתחים:

I₁ = I₂ + I₃

U₁ = I₁ R₁ + U₂ + I₂ R₂ → 120 = 20 I₁ + 60 + 5 I₂

U₂ + I₂ R₂ = I₃(R₃ + R₄) → 60 + 5 I₂ = 14 I₃

סעיף ד — חישוב הזרמים במעגל (המפסק סגור)

נציב את משוואת הצומת בחוק המתחים הראשון ונפתור יחד עם המשוואה השלישית:

60 = 25 I₂ + 20 I₃

I₂ = 14 I₃ - 605 = 2.8 I₃ - 12

60 = 25(2.8 I₃ - 12) + 20 I₃ = 90 I₃ - 300 → I₃ = 36090 = 4 A

I₂ = 2.8 × 4 - 12 = -0.8 A

I₁ = I₂ + I₃ = 3.2 A

הסימן השלילי של I₂ מלמד שכיוון הזרם בפועל בענף האמצעי הפוך להנחה — הזרם זורם מ-B אל A בגודל 0.8 אמפר:

U_AB = 120 - 20 × 3.2 = 56 V ; 14 × 4 = 56 V ✓

I₁ = 3.2 A ; I₂ = 0.8 A (בכיוון מ-B אל A) ; I₃ = 4 A

שאלה 4 — מעגל קבלים וקבוע זמן

נתונים: U = 24V · C₁ = 6µF · C₂ = 2µF · C₃ = 6µF · C₄ = 4µF · R = 14 kΩ

💡

מבנה המעגל: באיור א' המקור בטור עם C₁; מהצומת האמצעי C₂ ישירות אל ההדק התחתון, ובמקביל אליו הצירוף הטורי של C₄ ו-C₃. באיור ב' נגד R בטור עם הקבל השקול.

סעיף א — הקיבול השקול של המעגל

הקבלים C₃ ו-C₄ בטור; צירופם מקביל ל-C₂; והצירוף כולו בטור עם C₁:

C₃₄ = C₃ · C₄C₃ + C₄ = 6 × 46 + 4 = 2.4 µF

Cₘ = C₂ + C₃₄ = 2 + 2.4 = 4.4 µF

C_T = C₁ · CₘC₁ + Cₘ = 6 × 4.46 + 4.4 = 26.410.4

C_T ≈ 2.54 µF

סעיף ב — המטען של הקבל C₂

המטען הכולל שמספק המקור שווה למטען על הקבל הטורי C₁. מתוכו נחשב את המתח על C₁, ומהפרש המתחים את המתח על C₂ ואת מטענו:

Q_T = C_T · U = 2.54 × 24 = 60.9 µC

U₁ = Q₁C₁ = 60.96 = 10.15 V

U₂ = U - U₁ = 24 - 10.15 = 13.85 V

Q₂ = C₂ · U₂ = 2 × 13.85

Q₂ ≈ 27.7 µC

סעיף ג — קבוע הזמן של המעגל (איור ב')

קבוע הזמן של מעגל טעינה הכולל נגד וקבל בטור:

τ = R · C_T = 14 × 10³ × 2.54 × 10^-6

τ ≈ 35.5 ms

סעיף ד — אופיין המתח על הקבל כפונקציה של הזמן

המתח על הקבל בזמן הטעינה עולה באופן מעריכי:

u_C(t) = U(1 - e^-t/τ) = 24(1 - e^-t/τ) [V]

בגרף: הציר האופקי הוא הזמן (במילי-שניות) והציר האנכי הוא המתח על הקבל (בוולטים). העקומה מתחילה מאפס בעלייה תלולה, קצב העלייה הולך וקטן, והיא שואפת אסימפטוטית אל 24 וולט. בזמן t = τ המתח מגיע לכ-63.2% מהמתח הסופי, ובזמן t = 5τ הקבל טעון למעשה במלואו:

u_C(τ) ≈ 15.2 V ; u_C(5τ) ≈ 24 V

🔌 פרק שני — זרם חילופין

שאלה 5 — מעגל טורי בזרם חילופין

נתונים: U = 200 ∠ 0° V · f = 400Hz · R = 7.5 Ω · C = 20µF · L = 5mH

סעיף א1 — היגב הסליל והיגב הקבל

X_L = 2π f L = 2π × 400 × 5 × 10^-3 = 12.57 Ω

X_C = 12π f C = 12π × 400 × 20 × 10^-6 = 19.89 Ω

X_L ≈ 12.57 Ω ; X_C ≈ 19.89 Ω

סעיף א2 — העכבה השקולה של המעגל

במעגל טורי מחברים את ההתנגדות ואת ההיגבים באופן וקטורי:

Z = R + j(X_L - X_C) = 7.5 + j(12.57 - 19.89) = 7.5 - j7.33 Ω

|Z| = √R² + (X_L - X_C)² = √7.5² + 7.33² = √109.9 = 10.49 Ω

φ_Z ≈ -44.3°

היגב הקבל גדול מהיגב הסליל, ולכן למעגל אופי קיבולי.

Z ≈ 10.49 Ω ∠ -44.3° (אופי קיבולי)

סעיף ב — הזרם במעגל

I = UZ = 200 ∠ 0°10.49 ∠ -44.3° = 19.07 ∠ +44.3° A

I ≈ 19.07 ∠ 44.3° A (מקדים את המתח)

סעיף ג1 — ההספק הפעיל, ההיגבי והמדומה

P = I² R = 19.07² × 7.5 ≈ 2728 W

Q = I²(X_C - X_L) = 19.07² × 7.33 ≈ 2666 var

S = U · I = 200 × 19.07 ≈ 3815 VA

בדיקה לפי משולש ההספקים:

S = √P² + Q² = √2728² + 2666² ≈ 3815 VA ✓

P ≈ 2728 W ; Q ≈ 2666 var (קיבולי) ; S ≈ 3815 VA

סעיף ג2 — משולש ההספקים

משולש ישר-זווית: הניצב האופקי מייצג את ההספק הפעיל P, הניצב האנכי (מצויר כלפי מטה מפני שהמעגל קיבולי) מייצג את ההספק ההיגבי Q, והיתר מייצג את ההספק המדומה S. הזווית שבין הניצב האופקי ליתר היא זווית המופע:

φ ≈ 44.3° ; cos φ = PS = 27283815 ≈ 0.715

cos φ ≈ 0.715 (קיבולי)

שאלה 6 — מעגל טורי בתהודה

נתונים: U = 30 ∠ 0° V · ω = 500 rad/s · R = 15 Ω · L = 0.1H · C = 40µF

סעיף א — ההיגבים ובדיקת תהודה

X_L = ω L = 500 × 0.1 = 50 Ω

X_C = 1ω C = 1500 × 40 × 10^-6 = 10.02 = 50 Ω

היגב המשרן שווה להיגב הקבל, ולכן המעגל בתהודה. בתהודה טורית מתחי הסליל והקבל מבטלים זה את זה, והעכבה נעשית אומית טהורה ומינימלית.

X_L = X_C = 50 Ω — המעגל בתהודה

סעיף ב — הזרם הזורם במעגל

בתהודה העכבה השקולה שווה להתנגדות בלבד:

Z = R = 15 Ω

I = UZ = 3015 = 2 A

I = 2 A (במופע אחד עם המתח)

סעיף ג — קריאות מכשירי המדידה

הוולטמטר V₁ מחובר על הדקי המקור ולכן מורה את מתח המקור. הוולטמטר V₂ מחובר על הנגד, ומכיוון שהמעגל בתהודה כל מתח המקור נופל על הנגד:

V₁ = U = 30 V

V₂ = I · R = 2 × 15 = 30 V

💡

שימו לב: המתח על הסליל והמתח על הקבל שווים בגודלם ל-100 וולט כל אחד (I·X = 2×50), אך הפוכים במופע ומבטלים זה את זה — תופעה אופיינית לתהודה טורית.

V₁ = V₂ = 30 V

סעיף ד — גורם הטיב של המעגל

Q = X_LR = 5015

Q ≈ 3.33

שאלה 7 — מעגל מקבילי בזרם חילופין

נתונים: U = 50 ∠ 0° V · ω = 600 rad/s · C = 400µF · L = 13.3mH · R = 10 Ω (נתון שהוסף)

💡

נתון חסר: בשאלה לא צוין ערך הנגד R. בהתאם להוראות השאלון המתירות להוסיף נתון חסר בצירוף נימוק, נניח R = 10 Ω — ערך סביר המאפשר פתרון מלא של כל הסעיפים.

סעיף א — היגב המשרן והיגב הקבל

X_L = ω L = 600 × 13.3 × 10^-3 = 7.98 Ω

X_C = 1ω C = 1600 × 400 × 10^-6 = 10.24 = 4.17 Ω

X_L ≈ 7.98 Ω ; X_C ≈ 4.17 Ω

סעיף ב — עכבת המעגל ואופיו

נחשב תחילה את העכבה השקולה של הסליל והקבל המקבילים, ואחר כך את צירופה עם הנגד:

Z_LC = -j · X_L X_CX_L - X_C = -j(7.98 × 4.17)7.98 - 4.17 ≈ -j8.72 Ω

Z = R · Z_LCR + Z_LC = 10 × 8.72 ∠ -90°10 - j8.72 = 87.2 ∠ -90°13.27 ∠ -41.1° = 6.57 ∠ -48.9° Ω

היגב הקבל קטן מהיגב הסליל, ולכן זרם הקבל גדול מזרם הסליל, הזרם הכללי מקדים את המתח ולמעגל אופי קיבולי.

Z ≈ 6.57 Ω ∠ -48.9° (אופי קיבולי)

סעיף ג — הזרמים I₁, I₂ ו-I_T במעגל

I₁ = UX_L = 507.98 ≈ 6.27 A (∠ -90°)

I₂ = UX_C = 504.17 = 12 A (∠ +90°)

I_R = UR = 5010 = 5 A (במופע אחד)

הזרם הכללי מתקבל מחיבור וקטורי של זרמי הענפים:

I_T = I_R + j(I₂ - I₁) = 5 + j(12 - 6.27) = 5 + j5.73

|I_T| = √5² + 5.73² = √57.9 ≈ 7.61 A ; φ = arctan5.735 ≈ +48.9°

בדיקה:

Z = UI_T = 507.61 ≈ 6.57 Ω ✓

I₁ ≈ 6.27 A ; I₂ = 12 A ; I_T ≈ 7.61 ∠ 48.9° A

שאלה 8 — רשת תלת-מופעית סימטרית

נתונים: R = 15 Ω · U(קווי) = 400V · U(מופעי) = 230V · f = 50Hz · עומס אומי סימטרי

בכל צורות החיבור העומס אומי טהור וסימטרי, ולכן שלושת הזרמים הקוויים שווים זה לזה.

חיבור א — משולש עם שני נגדים בטור בכל צלע

התנגדות כל צלע היא סכום שני הנגדים, ועל כל צלע נופל המתח הקווי:

R_Δ = 2R = 30 Ω

I(מופעי) = U(קווי)R_Δ = 40030 = 13.33 A

I(קווי) = √3 · I(מופעי) = 1.732 × 13.33 = 23.09 A

P = 3 · U(קווי)²R_Δ = 3 × 400²30 = 16000 W

I(קווי) ≈ 23.09 A ; P = 16 kW

חיבור ב — כוכב עם שני נגדים בטור בכל פאזה

בחיבור כוכב הזרם הקווי שווה לזרם המופעי, ועל כל פאזה נופל המתח המופעי:

R_Y = 2R = 30 Ω

I(קווי) = U(מופעי)R_Y = 23030 = 7.67 A

P = 3 · U(מופעי)²R_Y = 3 × 230²30 = 5290 W

I(קווי) ≈ 7.67 A ; P ≈ 5.29 kW

חיבור ג — כוכב עם שני נגדים במקביל בכל פאזה

התנגדות כל פאזה היא צירוף מקבילי של שני נגדים זהים:

R_Y = R2 = 7.5 Ω

I(קווי) = U(מופעי)R_Y = 2307.5 = 30.67 A

P = 3 · U(מופעי)²R_Y = 3 × 230²7.5 = 21160 W

I(קווי) ≈ 30.67 A ; P ≈ 21.16 kW

💡

סיכום: בחיבור א' זרם קווי כ-23.09 אמפר והספק 16 קילו-ואט; בחיבור ב' זרם קווי כ-7.67 אמפר והספק כ-5.29 קילו-ואט; בחיבור ג' זרם קווי כ-30.67 אמפר והספק כ-21.16 קילו-ואט.

📘 פרק שלישי — מערכות ספרתיות

שאלה 9 — פישוט פונקציה בינארית

נתונים: F(A,B,C) = A · B · (A + C) + A · B · A + B + C

סעיף א — פישוט הפונקציה במינימום ליטרלים

נפשט תחילה את המחובר השני לפי כלל דה-מורגן:

A + B + C = A · B · C

A · B · (A · B · C) = A · (B · B) · C = 0

נפשט את הביטוי שבתוך השלילה במחובר הראשון לפי חוק הבליעה:

A · (A + C) = A ⇒ A · B · (A + C) = A · B

נפעיל את כלל דה-מורגן על השלילה:

F = A · B + 0 = A + B

F = A + B (שני ליטרלים בלבד, ללא תלות ב-C)

סעיף ב — מימוש הפונקציה המפושטת בשערים לוגיים

הכניסה A מחוברת למהפך שמוצאו \overline{A}; מוצא זה מחובר יחד עם הכניסה B לשער OR דו-כניסי שמוצאו הוא הפונקציה. דרך חלופית בשערי NAND בלבד: מחברים את B לשתי כניסות שער NAND (המתפקד כמהפך) ומקבלים \overline{B}, ואת A ואת \overline{B} מכניסים לשער NAND שני, שלפי דה-מורגן מוצאו הוא הפונקציה המבוקשת:

F = A · B = A + B

שאלה 10 — רכיב 7400 עם שערי NAND

נתונים: רכיב 7400 · ארבעה שערי NAND דו-כניסיים · כניסות A, B, C

💡

מבנה החיווט: A מחוברת לרגל 1 ולרגל 5, B לרגל 2. מוצא השער הראשון (רגל 3) מחובר לרגל 4. מוצא השער השני (רגל 6) מחובר לרגל 13, ו-C לרגל 12. מוצא השער השלישי (רגל 11) הוא הפונקציה F. השער הרביעי אינו בשימוש.

סעיף א — מציאת הפונקציה במוצא F

נעקוב אחרי האותות שער אחר שער. השער הראשון — כניסות ברגליים 1 ו-2:

Y₁ = A · B

השער השני — כניסותיו הן מוצא השער הראשון והכניסה A:

Y₂ = A · Y₁ = A · A · B

נפשט את מוצא השער השני לפי כלל דה-מורגן וחוקי האלגברה הבוליאנית:

A · A · B = A · (A + B) = A · A + A · B = A · B

Y₂ = A · B = A + B

השער השלישי — כניסותיו הן מוצא השער השני והכניסה C:

F = Y₂ · C = (A + B) · C

נפעיל שוב את כלל דה-מורגן:

F = A + B + C = A · B + C

F = A · B + C

סעיף ב — טבלת אמת של הפונקציה F

נציב את שמונת הצירופים של שלושת המשתנים בביטוי:

A	B	C	F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

הפונקציה שווה 1 בכל מקרה שבו C = 0 (בזכות האיבר \overline{C}), וכן כאשר A = 1 ו-B = 0 (בזכות האיבר A·\overline{B}). בכל שאר המקרים הפונקציה שווה 0.